Физика атома и ядра (курс лекций)

Понятие спектра, его квалификация.

Классическое понятие момента импульса определяется формулой \( \vec{M}=[\vec{r} \vec{p}] \). Формально на основе этой формулы можно ввести понятие момента импульса в квантовой механике. Однако по ряду причин, которых мы не будем касаться, такое определение вектора момента импульса не имеет физического смысла. Поэтому вводится понятие квантовомеханического вектора момента.

Квантовомеханический момент в отличие от классического момента не имеет определенного направления в пространстве. Его положение можно определить относительно лишь выделенного каким-либо способом направления, иными словами, определить его проекцию на одной из осей координат, проведенной по избранному направлению, при этом его проекцию нельзя определить на двух других направлениях трехмерного пространства. Момент импульса имеет длину, значения которой дискретны и определяются по следующему условию (правилу) квантования:

Здесь переменная \( a \) - некоторое квантовое число. Проекция \( M_{az} \) момента \( \vec{M_a} \) на избранную ось Oz также квантуется по правилу

Из условия (2) следует, что вектор момента относительно избранной оси может иметь только определенные, дискретные положения, количество таких возможных положений равно \( 2a+1 \). Можно определить полярный угол между моментом импульса и избранной оси (рис. 5):

рис. 5

С квантовомеханическими векторами можно работать, как и обычными векторами трехмерного пространства, но с учетом его особенностей. В частности, изображать его направленным отрезком, суммировать два вектора по правилу параллелограмма, определять углы между векторами.

Моменты электрона.

Состояние электрона определяется моментами двух типов: механическим моментом и соответствующим магнитным моментом \( \vec{ \mu} \). С достаточно точным приближением можно утверждать, что электроны обращаются вокруг ядра по круговым орбитам и представляют собой замкнутые электрические токи и являются малыми магнитами. Магнитные свойства электрона характеризуется моментом \( \vec{ \mu} \). Механические свойства электрона, движущегося по орбите, характеризуется механическим моментом \( \vec{ M} \). Оба момента называются орбитальными, поскольку их возникновение в атоме связано движением электронов, которое ради простоты и наглядности считаем орбитальным. Из электродинамики известно, между двумя типами моментов существует связь, называемая гиромагнитным соотношением. Исходя из электродинамических представлений, не трудно получить это соотношение. В гауссовской системе единиц магнитный момент замкнутого тока по кругу имеет вид

где S=πr², r - радиус орбиты электрона, c - электродинамическая константа, I - сила тока в замкнутом контуре. Электрон совершает один полный период за время T, при этом переносит заряд, равный по абсолютной величине элементарному заряду e. Следовательно, сила тока равна

В формулу (4) поставим выражения для переменных I,S, учтем, что

И, окончательно, получим искомое соотношение

Используя квантовомеханическое выражение (1) для длины вектора \( \vec{M_l} \), получим

Из (8) вытекает, что магнитные свойства атома обусловлены движением электрона вокруг ядра. Вводят величину - магнетон Бора:

Тогда (8) примет вид

Попытки теоретического анализа экспериментальных фактов в атомной спектроскопии привели утверждению о том, что кроме механического момента, приобретенного им в результате движения во внешнем поле, электрон должен обладать собственным механическим моментом. Этот момент свойствен электрону по сути самой его внутренней природы, является такой же характеристикой его идентификации, как масса покоя, электрический заряд. Длина собственного момента электрона характеризуется квантовым числом, имеющее единственное значение, равное 1/2. Это квантовое число принято обозначать символом s, называется оно спином или спиновым квантовым числом электрона. Собственный механический момент электрона имеет единственное значение

рис. 6

Относительно избранной оси Oz собственный момент электрона имеет два возможных положения. Спиновое магнитное квантовое число принимает два значения

Полный момент электрона.

Полный механический момент электрона равен сумме двух векторов

Квантовое число j называется результирующим квантовым числом или внутренним квантовым числом электрона. Как видно из (13), результат суммирования неоднозначен, в нашем случае имеется два возможных значения внутреннего квантового числа, следовательно, возможны два возможных значения длины результирующего момента электрона. В этом заключается одно из важных отличий квантовомеханического вектора от обычного вектора.

Каждому механическому моменту соответствует свой магнитный момент. Так результирующему механическому моменту электрона соответствует полный магнитный момент, определяемый векторным суммированием

Соотношение между моментами \( \vec{M_j} \) и \( \vec{\mu_j} \) имеет вид

Коэффициент g называется множителем Ланде и определяется равенством

Знак минус в формуле (15) указывает, что моменты направлены противоположно. Отпуская знак и применяя условие квантования момента импульса (1), получим выражение для длины полного магнитного момента электрона

Естественно предположить связь между моментами (15) сохранятся и в случае их проекций. Тогда имеем

И условие квантования проекции полного магнитного момента примет вид

Двухэлектронная система. LS - тип связи.

Рассмотрим систему из двух электронов. Пусть состояние одного электрона характеризуется набором квантовых чисел n₁,l₁,s₁, а состояние другого - n₂,l₂,s₂. Заметим, что индексация квантовых чисел чисто условна, поскольку мы не можем указать, какой электрон будет первым, какой - вторым. Этим мы указываем лишь то, что в системе находятся два электрона, свободные состояния которых определены разным набором чисел. Итак, свободное состояние первого электрона характеризуется механическими моментами \( \vec{M_{l_1}}\vec{M_{s_1}} \), другого электрона - \( \vec{M_{l_2}}\vec{M_{s_2}} \). А система двух связанных электронов будет характеризоваться другим моментом. Его ищут путем сложения всех четырех моментов. Порядок сложения моментов может быть разным. Поэтому для однозначности наших действий мы должны условиться, как будем связывать (складывать) моменты. Существует в теории атомных спектров общепринятый порядок сложения моментов. Сначала связывают однотипные моменты попарно, получают так называемые промежуточные моменты, а затем, слагая эти моменты, находят искомый момент, характеризующий систему в целом. Все это запишем так:

Промежуточный момент \( \vec{M_L} \) называется полным орбитальным моментом, другой промежуточный момент \( \vec{M_S} \) - полным спиновым моментом. Сложение промежуточных моментов дает результирующий момент \( \vec{M_J} \) системы в целом. Сложение моментов дает однозначный результат. Мы получаем перечень возможных начений и промежуточных моментов и результирующего момента. Так при фиксированных квантовых числах слагаемых моментов квантовые числа L,S,J системы определяются одним общим правилом:

Описанный порядок сложения моментов называется LS - типом связи. Порядок сложения моментов можно выбрать произвольно, поэтому могут быть разные типы связи. Но остается неизменным главное: получают сначала промежуточные моменты, которые затем слагаются в результирующий момент. Такой порядок сохраняется и в случае систем из многих электронов. Условия квантования результирующих моментов и их проекций остается прежними, определяются формулами (1) и (2). Соответствующие полные магнитные моменты системы определяются формулами (17) и (19), где квантовые числа электрона должны быть заменены квантовыми числами системы. В частности, множитель Ланде для системы имеет вид

Пара чисел - значений переменных L,S называют термом системы, тройка определенных чисел L,S,J - ее уровнем. Уровню соответствует определенное значение энергии системы. Отсюда следует, что классическому определению терма соответствует уровень атома. Для теории атома системой будет любой многоэлектронный атом. Каждый уровень атома идентифицируется спектроскопическим символом ^2S+1X_J, где X - буквы латинского алфавита, обозначающие состояния атома по полному орбитальному квантовому числу L. Например, значениям орбитального квантового числа L=0,1,2,3,4,... соответствуют следующие обозначения состояний X=S,P,D,F,G... Электронные состояния по орбитальному квантовому числу l соответствующими прописными буквами. Обозначения S,P,D,F были введены при рассмотрении сериальных закономерностей атомов щелочных металлов. Остальные состояния обозначены буквами, взятыми по порядку их следования в алфавите.

Термы и уровни применяются для классификации и систематизации энергетических уровней в спектрах сложных атомов. Такова главная суть векторной модели атома, при помощи которой, применяя полуклассические рассуждения и обычные векторные диаграммы, можно получить важные результаты квантовой теории, не прибегая к сложным математическим методам. При этом нужно помнить, метод векторной модели нельзя считать строгим, и результаты, полученные этим методом, нуждаются в подтверждении другими исследованиями, проводимыми иными способами.

Тонкая структура.

В результате ввода понятия собственного механического момента электрона была достаточно убедительно истолкована причина тонкой структуры атомных спектров. В атоме электроны, движущиеся вокруг ядра, создают суммарное магнитное поле, которое характеризуется орбитальным магнитным моментом \( \vec{ \mu_L} \). Кроме того, электроны обладают собственными магнитными свойствами, которые суммарно можно характеризовать магнитным моментом \( \vec{ \mu_S} \). В векторной модели атома наложение двух этих магнитных полей рассматривают как взаимодействие двух моментов и называют спин-орбитальным взаимодействием. Спин-орбитальное взаимодействие является внутренним свойством атома, определяется результирующим магнитным моментом (сравни с (17))

и служит причиной возникновения тонкой структуры атомных спектров в отсутствии внешнего магнитного поля. Энергия атома в отсутствии внешнего поля имеет вид

где E₀=T+U - полная энергия частицы в ньютоновой механике, ΔE=U_LS - дополнительная энергия атома в результате спин-орбитального взаимодействия. Значения дополнительной энергии ΔE и их число определяются возможными ориентациями относительно другу друга моментов \( \vec{M_L} \) и \( \vec{M_S} \). Этим же определяется число возможных расщеплений уровня E. Таким образом, расщепление термов LS на подуровни LSJ есть причина тонкой структуры спектральной линии. В результате происходят квантовые переходы между различными уровнями двух термов, вследствие чего возникают компоненты тонкой структуры линий. Расщепление терма на подуровни можно представить в виде диаграммы (7).

рис. 7

Эффект Зеемана.

Ярким примером применения векторной модели атома является теоретическое изучение тонкой структуры атомных спектров во внешнем магнитном поле. Рассмотрим сложный эффект Зеемана.

Из электродинамики известно, что атом в магнитном поле ведет себя как магнитный диполь. Взаимодействуя с внешним полем, он приобретает дополнительную энергию

рис. 8

Здесь мы учли, во второй цепочке равенства первый множитель есть проекция магнитного момента на направление внешнего магнитного поля. Выбирая это направление за ось Oz, мы можем переписать (25) в виде

Итак, каждый уровень свободного атома во внешнем магнитном поле расщепляется на 2J+1 компонент

где ΔE_J определяется формулой (26). Рассмотрим квантовый переход с компоненты E₂ верхнего уровня на компоненту E₁ нижнего уровня (рис. 9). В этом случае энергия перехода равна

рис. 9

С учетом формулы (26) для дополнительной энергии атома, приобретенным им во внешнем магнитном поле, имеем

Теперь разделим равенство (28) на величину ћ, получим

Последнее слагаемое есть величина смещения компоненты спектральной линии в магнитном поле от первоначального положения исходной линии в отсутствии внешнего поля. Формула (29) дает смещение Δω частоты в сложном эффекте Зеемана, когда число компонент расщепления линий больше трех. В особых случаях комбинации уровней LSJ сложный эффект вырождается в простой эффект, в котором спектральная линия расщепляется на три компоненты. Рассмотрим случай перехода между уровнями с квантовыми числами S=0,J=L. Непосредственное вычисление множителей Ланде по формуле (22) показывает, что они для обоих уровней одинаковы и равны единице. В этом можно убедиться непосредственным вычислением этих множителей. Тогда величина смещения равна

Согласно эмпирически найденному правилу отбора разность магнитных квантовых чисел, принадлежащих компонентам двух уровней, между которыми происходит переход, должна равнять либо нулю, либо единице. Это правило записывается следующим образом:

Величина

представляет собой не только смещение, но и разность частот соседних компонент. Ее называют величиной расщепления Лоренца, или ради краткости расщеплением Лоренца. Следовательно, исходная линия расщепляется на три компоненты с соответствующими частотами

Рассмотренный случай называется чисто орбитальным, поскольку результирующий механический момент создается лишь орбитальным движением электронов атома.

Имеет место другой крайний случай, когда момент атома определяется лишь суммарным спиновым моментом его электронов, и его состояние описывается квантовыми числами L=0,J=S. И в этом случае оба множителя Ланде одинаковы, но равны двум. Исходная линия расщепляется на три компоненты:

Простой эффект Зеемана наблюдается, когда квантовый переход осуществляется между уровнями J₁=0 и J₂=1. Поскольку J₁=0, то m₁=0. Магнитное квантовое число m₂=0,±1. Формула (30) примет вид

И, наконец, исходная спектральная линия будет иметь расщепление из трех компонент, если внешнее поле для данного атома будет сильным. Внешнее магнитное поле называется сильным для данного атома, если его взаимодействие с атомом сильнее, чем спин-орбитальное взаимодействие в атоме. При этом внешнее поле разрывает связь между полными спиновым и орбитальным моментами атома, и непосредственно взаимодействует с этими моментами. А слабое магнитное поле взаимодействует с результирующим моментом μ_J, не разрывая спин-орбитальную связь. Математически это можно объяснить следующим образом. Полная энергия атома во внешнем магнитном поле имеет вид

В сильном поле U_LS<<U_LH+U_SH, а в слабом, наоборот. Отсюда следует, что дополнительную энергию, которую атом приобретает, можно записать в виде суммы

Рассматривая квантовый переход между компонентами двух уровней, получим

По известному правилу отбора для спинового магнитного числа Δm_S=0, а для орбитального магнитного числа Δm_L=0,±1. С учетом этого, окончательно, имеем