Печатать эту главуПечатать эту главу

2. Волновые свойства вещества

Задача №4.

Частица массы m находится в одномерной прямоугольной яме потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы l. Найти возможные значения энергии частицы, имея в виду, что реализуется лишь такие состояния ее движения, для которых в пределах данной ямы укладывается целое число дебройлевских полуволн.

 

Дано:

l, m

Решение:


Найти:

En=?

 

По условию задачи имеем

 

\( l=n\frac{{\lambda}_n}{2} \), n=1,2,...

(1)

Полная энергия частицы равна

 

E=T+U,

(2)

Внутри ямы частица движется свободно, то есть ее потенциальная энергия U=0. Следовательно, полную энергию частицы составляет ее кинетическая энергия

 

\( E=\frac{p^2}{2m} \).

(3)

Используя соотношением де Бройля для длины волны и импульса частицы с учетом условия (1) найдем энергетические уровни частицы в яме

 

\( E_n=\frac{h^2}{8ml^2}n^2 \).

(4)

Учитывая соотношение между константой h Планка и константой ћ Планка - Дирака, запишем (4) в следующем виде:

 

\( E_n=\frac{{\pi}^2{\hbar}^2}{2ml^2}n^2 \).

(5)