Печатать эту главуПечатать эту главу

2. Волновые свойства вещества

Задача №6.

Частица массы m движется в одномерном потенциальном поле U=kx2/2 (гармонический осциллятор). Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию частицы в таком поле.

 

Дано:

U=kx2/2

Решение:

Найти:

En=?

 

Полная энергия частицы равна

 

E=T+U,

(1)

где ее кинетическая энергия равна

 

\( T=\frac{p^2}{2m} \).

(2)

Найдем минимальную величину импульса с помощью соотношения неопределенностей

 

ΔxΔpxћ.

(3)

Искомая величина не может быть меньше наименьшей неопределенности в ее измерении. По этой причине можно считать, что имеют место следующие равенства:

 

xmin=(Δx)min, pmin=(Δp)min.

(4)

Следовательно, минимальная кинетическая энергия электрона равна

 

\( T=\frac{{\hbar}^2}{2mx^2} \).

(5)

Поставляя выражения для величин T и U в формулу (1) получим

 

\( E\approx\frac{{\hbar}^2}{2mx^2}+\frac{kx^2}{2} \).

(6)

Величина E будет иметь минимальное значение в точке с координатой x=xmin. Чтобы найти xmin нужно решать уравнение, задающее условие минимума

 

\( \frac{dE}{dx}=0 \).

(7)

В нашем случае оно имеет вид

 

\( kx=\frac{{\hbar}^2}{mx^3} \).

(8)

Отсюда находим x2 и поставим в соотношение (6), и в результате получим искомое выражение

 

\( E_{min}=\hbar\sqrt{\frac{k}{m}}=\hbar\omega \),

(9)

где k - коэффициент квазиупругости, характеризующий поле, в котором движется частица.