2. Волновые свойства вещества
Задача №6.
Частица массы m движется в одномерном потенциальном поле U=kx2/2 (гармонический осциллятор). Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию частицы в таком поле.
|
Дано: U=kx2/2 |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: En=? |
Полная энергия частицы равна
E=T+U, |
(1) |
где ее кинетическая энергия равна
\( T=\frac{p^2}{2m} \). |
(2) |
Найдем минимальную величину импульса с помощью соотношения неопределенностей
ΔxΔpx≥ћ. |
(3) |
Искомая величина не может быть меньше наименьшей неопределенности в ее измерении. По этой причине можно считать, что имеют место следующие равенства:
xmin=(Δx)min, pmin=(Δp)min. |
(4) |
Следовательно, минимальная кинетическая энергия электрона равна
\( T=\frac{{\hbar}^2}{2mx^2} \). |
(5) |
Поставляя выражения для величин T и U в формулу (1) получим
\( E\approx\frac{{\hbar}^2}{2mx^2}+\frac{kx^2}{2} \). |
(6) |
Величина E будет иметь минимальное значение в точке с координатой x=xmin. Чтобы найти xmin нужно решать уравнение, задающее условие минимума
\( \frac{dE}{dx}=0 \). |
(7) |
В нашем случае оно имеет вид
\( kx=\frac{{\hbar}^2}{mx^3} \). |
(8) |
Отсюда находим x2 и поставим в соотношение (6), и в результате получим искомое выражение
\( E_{min}=\hbar\sqrt{\frac{k}{m}}=\hbar\omega \), |
(9) |
где k - коэффициент квазиупругости, характеризующий поле, в котором движется частица.