4. Спектры. Свойства атомов

Задача №6.

Некоторое количество атомарного водорода находится в тепловом равновесии при температуре T=3000K. Сколько N атомов находится в основном состоянии, приходящихся на один атом в первом возбужденном состоянии.

Дано: T=3000 K	Решение:
Найти: N=?

Дано:

T=3000 K

Решение:

Найти:

N=?

Наиболее вероятное распределение частиц газа по различным уровням энергии определяется распределением Больцмана

\( \frac{N_2}{N_1}=\frac{\mathrm{g_2}}{\mathrm{g_1}}exp\left(-\frac{E_2-E_1}{kT}\right) \),

(1)

где N₂, N₁, число частиц, обладающих энергиями E₂ и E₁ соответственно, g₁ и g₂ - статистические веса (кратности вырождения) уровней 1 и 2. Разность уровней равна энергии перехода

ΔE=E₂-E₁=ћω.

(2)

Отсюда следует, чтоискомая величина равна

\( N=\frac{N_1}{N_2}=\frac{\mathrm{g_1}}{\mathrm{g_2}}exp\left(\frac{\hbar\omega}{kT}\right) \).

(3)

Кратность вырождения уровня E_i атома водорода определяется соотношением

g_i(l)=2(2l+1).

(4)

Частота перехода задается формулой Бальмера - Ридберга

\( \omega=\hbar{R'}\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right) \).

(5)

Поставляя (5) и (4) в (3), получим

\( N=\frac{2l_1+1}{2l_2+1}exp\left(\frac{\hbar{R'}}{kT}\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)\right) \).

(6)

Из диаграммы квантового перехода имеем n₁=1, l₁=0, n₂=2, l₂=1. Следовательно, расчетная формула для величины N имеет вид

\( N=\frac{1}{3}exp\left(\frac{3\hbar{R'}}{4kT}\right) \).

(7)

Расчеты:

\( N=\frac{1}{3}exp\left(\frac{3\cdot1,0546\cdot10^{-34}\cdot2,07\cdot10^{17}}{4\cdot1,3807\cdot10^{-23}\cdot3000}\right)=\frac{1,4674}{3}=4,89\cdot10^{17} \).