5. Молекулы и кристаллы
Задача №1.
Найти угловую скорость вращения молекулы водорода на первом возбужденном вращательном уровне, если расстояние между центрами атомов равно 0,74Å.
|
Дано: d=0,74Å |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: ωr=? |
Величина момента импульса вращающейся квантовой системы (например, молекулы) квантуется по формуле
\( M_J=\hbar\sqrt{J(J+1)} \), |
(1) |
где J=0,1,2.... Квантовое число J называется вращательным. Момент импульса вращения тела, которое вращается вокруг неподвижной оси, определяется следующим образом:
M=ωrI, |
(2) |
где ωr - угловая скорость вращения, 
- момент инерции тела относительно этой оси. Сопоставляя формулы (1) и (2), найдем
\( \omega_r=\frac{M}{I}=\frac{\hbar\sqrt{J(J+1)}}{I} \). |
(3) |
Если молекула состоит из двух одинаковых атомов, то момент инерции относительно оси, проходящей через ее центр инерции, равен
\( I=\frac{1}{2}md^2 \), |
(4) |
где d - расстояние между центрами атомов, m - масса одного атома. В случае атома водорода она равна 1,67·10-27кг. В первом возбужденном состоянии J=1. Поэтому с учетом (4) получим
\( \omega_r=\frac{2\sqrt{2}\hbar}{md^2} \). |
(5) |
Расчет:
\( \omega_r=\frac{2\sqrt{2}\cdot1,0546\cdot10^{-34}}{1,67\cdot10^{-27}\cdot{(0,74\cdot10^{-10})}^2}=3,259\cdot10^{13}\approx3,3\cdot10^{13} \)c-1. |