5. Молекулы и кристаллы
Задача №3.
Найти отношение энергий, которые необходимо затратить для возбуждения двухатомной молекулы HI на первый колебательный и первый вращательный уровни.
|
Дано: HI |
Решение:  |
|---|---|
|
Найти: \( \eta =\frac{\Delta{E}_1^{кол}}{\Delta{E}_1^{вр}} \)=? |
В первом приближении молекулы могут колебаться и вращаться относительно общего центра инерции независимо друг от друга. Так колебательная энергия Ev, соответствующая колебаниям молекулы, определяется выражением
\( E_{\nu}=\left(\nu+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega \) (v=0,1,...), |
(1) |
где v - колебательное квантовое число, ω - собственная частота колебаний молекулы, определяемая как частота осциллятора \( \omega=\sqrt{k/m} \). А вращательная энергия Er, связанная вращением молекулы в целом, квантуется по формуле (1) задачи 2.
Определим энергию перехода на первый колебательный уровень:
\( \Delta{E}_1^{кол}={E}_1^{кол}-{E}_0^{кол}=\frac{3}{2}\hbar\omega-\frac{1}{2}\hbar\omega=\hbar\omega \). |
(2) |
Энергия перехода на первый вращательный уровень равна
\( {E}_1^{вр}=\frac{\hbar^2}{I} \). |
(3) |
Выражение для искомой величины η имеет вид
\( \eta=\frac{\omega{I}}{\hbar}=\frac{\omega\mu{d}^2}{\hbar} \). |
(4) |
Приведем табличные данные: ω=4,350·1014c-1, d=1,604·10-10 м, mH=1,007825 а.е.м., м, mI=126,9045 а.е.м.
Расчет:
\( \mu=\frac{1,007825\cdot126,9045\cdot{(1,660\cdot10^{-27})}^2}{1,007825+126,9045)\cdot1,660\cdot10^{-27}}=1,66\cdot10^{-27} \)кг, |
|
I=1,66·10-27·(1,604·10-10)2=4,2678·10-47кг·м2, |
|
\( \eta=\frac{4,26783\cdot10^{-47}\cdot4,350\cdot10^{14}}{1,0546\cdot10^{-34}}=17,609\approx1,76\cdot10^2 \). |