1. Атом Резерфорда

Примеры решения задач

Задача №1.

Определить скорость, с которой электрон движется по первой боровской орбите в атоме водорода.

Задача №2.

Частица массы движется в центрально-симметричном силовом поле \( \vec{F} \)=-kr(k>0). Применяя теорию Бора выразить через циклическую частоту ω, с которой колебалась бы частица под действием \( \vec{F} \):

а) возможные радиусы r_n круговых орбит частицы

б) возможные значения E_n полной энергии частицы.

Задача №3.

Вычислите в электрон-вольтах (эВ) потенциальную энергию водорода в состоянии, которому в модели атома Бора соответствует радиус круговой орбиты, равный 0,53 Å.

Задача №4.

Чему равна частота фотона, испущенного при переходе водородоподобного атома Li⁺⁺ из состояния n=5 в состояние m=4.

Задача №5.

Фотон с энергией 12,1 эВ, поглощенный атомом водорода, находящимся в основном состоянии привел атом в некоторое возбужденное состояние. Каково квантовое число этого состояния.

Задача №6.

У какого водородоподобного иона разность длин волн головных линий серий Бальмера и Лаймана равна 59,3 нм.

Задача №7.

Найти квантовое число n, соответствующее возбужденному состоянию водородоподобного иона He⁺, если при переходе в основное состояние этот ион испустил последовательно два фотона с длинами волн 108,5 и 30,4 нм.

Задача №1.

Определить скорость, с которой электрон движется по первой боровской орбите в атоме водорода.

Дано: H	Решение:
Найти: v₁=?

Дано:

H

Решение:

Найти:

v₁=?

Запишем систему уравнений

\( m\frac{v^2}{r_n}=k\frac{Ze^2}{r^2_n} \),	(1)
mvr_n=nћ.	(2)

Z - зарядовое число атомного ядра, e - элементарный заряд, r_n - радиус -й орбиты электрона в водородоподобном атоме, k - коэффициент пропорциональности в законе Кулона. Делим уравнение (1) на (2) и получим

\( v_n=k\frac{e^2}{\hbar}\cdot\frac{Z}{n} \).

(3)

Зарядовое число Z атома водорода равно единице, следовательно, окончательно имеем

\( v_1=k\frac{e^2}{\hbar} \).

(4)

Задача №2.

Частица массы движется в центрально-симметричном силовом поле \( \vec{F} \)=-kr(k>0). Применяя теорию Бора выразить через циклическую частоту ω, с которой колебалась бы частица под действием \( \vec{F} \):

а) возможные радиусы r_n круговых орбит частицы

б) возможные значения E_n полной энергии частицы.

Дано: \( \vec{F}=-k\vec{r} \) mvr=nћ	Решение:
Найти: r_n=? E_n=?

Дано:

\( \vec{F}=-k\vec{r} \)

mvr=nћ

Решение:

Найти:

r_n=?

E_n=?

a)

mvr_n=nћ.	(1)
v=ωr_n.	(2)

Поставим (2) в (1)

\( m \omega{r^2_n }=n\hbar \).

(3)

Отсюда следует

\( r_n=\sqrt{\frac{n\hbar}{m\omega}} \).

(4)

б) Полная энергия частицы равна

E=T+U.

(5)

Выразим кинетическую энергию T через частоту ω:

\( T=\frac{mv^2}{2}=\frac{m}{2}\cdot{\omega}^2\cdot\frac{n\hbar}{m\omega}=\frac{n\hbar\omega}{2} \).

(6)

Для нахождения потенциальной энергии U воспользуемся определением

\( F=-\frac{dU}{dr} \).

(7)

По условию задачи имеем

F=-kr.

(8)

Применяя равенства (7) и (8), запишем уравнение

dU=krdr.

(9)

Здесь учтено, что \( \vec{F} \uparrow \uparrow\vec{r} \). Частота ω квазиупругих колебаний определяется формулой

\( \omega=\sqrt\frac{k}{m} \).

(10)

Если учесть (10), то дифференциал dU потенциальной энергии примет вид

dU=mω²rdr.

(11)

Интегрируем обе части равенства (11):

\( U=m{\omega}^2 \int{rdr}=\frac{m{\omega}^2r^2}{2} \).

(12)

И, наконец, учтя (4), найдем

\( U=\frac{n\hbar\omega}{2} \).

(13)

Из формул (6) и (13) следует, что полная энергия частицы равна

E_n=nћω.

(14)

Задача №3.

Вычислите в электрон-вольтах (эВ) потенциальную энергию водорода в состоянии, которому в модели атома Бора соответствует радиус круговой орбиты, равный 0,53 Å.

Дано: r=0,53	Решение:
Найти: U=?

Дано:

r=0,53

Решение:

Найти:

U=?

Потенциальная энергия электростатического взаимодействия электрона с ядром равна

\( U=-k\frac{Ze^2}{r} \).

(1)

В системе СИ e=1,602·10^-19Кл, k=9·10⁹м/Ф, 1 Å=10¹⁰м, 1 эВ=1,6·10^-19Дж.

\( U=\frac{{(1,602\cdot10^{-19})}^2}{0,53\cdot10^{-10}\cdot1,6\cdot10^{-19}}=-27,2 \) эВ.

Задача №4.

Чему равна частота фотона, испущенного при переходе водородоподобного атома Li⁺⁺ из состояния n=5 в состояние m=4.

Дано: n=5 m=4	Решение:
Найти: ω=?

Дано:

n=5

m=4

Решение:

Найти:

ω=?

Обобщенная формула Бальмера - Ридберга для водородоподобного атома на шкале имеет вид

\( \omega==R'\left(\frac{1}{m^2-n^2}\right)Z^2 \),

(1)

где R′ - константа Ридберга на шкале частот, целые числа m и n означают номер серии и номер линии в ней соответственно. В случае атомного ядра лития Z=3. R′=2,07·10¹⁶c^-1. Расчет:

\( \omega=2,07\cdot10^{16}\left(\frac{1}{16}-\frac{1}{25}\right)=4,2 \) c^-1.

Задача №5.

Фотон с энергией 12,1 эВ, поглощенный атомом водорода, находящимся в основном состоянии привел атом в некоторое возбужденное состояние. Каково квантовое число этого состояния.

Дано: E=12,1 эВ	Решение:
Найти: n=?

Дано:

E=12,1 эВ

Решение:

Найти:

n=?

Энергия перехода равна

ΔE=E_n-E_m=|E_m-E_n|.

(1)

Энергия E_f фотона, излучаемого (или поглощаемого) при квантовом переходе между уровнями E_n и E_m равна

E_f =ΔE.

(2)

При этом частота перехода определяется формулой Бальмера - Ридберга

\( \omega=R'\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right) \).

(3)

Следовательно, энергия фотона равна

\( E_f=\hbar\omega={\hbar}R'\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right) \).

(4)

По условию задачи E_m есть основное состояние, то есть m=1. Отсюда следует, что

\( n=\frac{1}{\sqrt{1-E_f/{\hbar}R'}} \).

(5)

Расчет:

\( n=\frac{1}{\sqrt{1-12,1/13,6}}=3,02 \).

(6)

Здесь мы учли, что потенциал ионизации атома водорода равен ћR′=13,6 эВ. Ответ: n=3.

Задача №6.

У какого водородоподобного иона разность длин волн головных линий серий Бальмера и Лаймана равна 59,3 нм.

Дано: Δλ=59,3 нм	Решение:
Найти: Z=?

Дано:

Δλ=59,3 нм

Решение:

Найти:

Z=?

Для водородоподобного атома формула Бальмера - Ридберга на шкале волновых чисел имеет вид

\( \tilde{v}=\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right)Z^2 \),

(1)

где константа Ридберга R=1,097·10⁷м^-1. С учетом номеров серий и головных линий в них запишем следующие равенства:

\( \frac{1}{\lambda_Л}=R\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\right)Z^2=\frac{3RZ^2}{4} \) для серии Лаймана,	(2а)
\( \frac{1}{\lambda_Б}=R\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right)Z^2=\frac{5RZ^2}{36} \) для серии Бальмера.	(2б)

Используя условие задачи и соотношения (2), найдем уравнение для нахождения Z

\( \frac{36}{5RZ^2}-\frac{4}{3RZ^2}=59,3\cdot10^{-9} \).

(3)

Отсюда имеем

\( Z= \pm\sqrt{\frac{9,9435\cdot10^7}{R}} \approx \pm3,0106 \).

Порядковым номером элемента будет положительное целое число, ближайшее к найденному значению, то есть Z=3. Такой номер принадлежит литию, следовательно, символ иона Li⁺⁺.

Задача №7.

Найти квантовое число n, соответствующее возбужденному состоянию водородоподобного иона He⁺, если при переходе в основное состояние этот ион испустил последовательно два фотона с длинами волн 108,5 и 30,4 нм.

Дано: He⁺ λ₁=108,5 нм λ₂=30,4 нм	Решение:
Найти: n=?

Дано:

He⁺

λ₁=108,5 нм

λ₂=30,4 нм

Решение:

Найти:

n=?

Используя формулу Бальмера - Ридберга для водородоподобного атома, запишем два равенства

\( \frac{1}{{\lambda}_1}=r\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right)Z^2 \),	(1)
\( \frac{1}{{\lambda}_2}=r\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{m^2}\right)Z^2 \).	(2)

Сложим равенства и получим

\( \frac{{\lambda}_1+{\lambda}_2}{RZ^2{\lambda}_1{\lambda}_2}=1-\frac{1}{n^2} \).

(3)

Отсюда находим

\( n=\frac{1}{\sqrt{1-({\lambda}_1+{\lambda}_2)/(RZ^2{\lambda}_1{\lambda}_2)}} \).

(4)

Расчет:

\( n=\sqrt{1-138,9\cdot{10}^{-9}/(1,097\cdot{10}^7\cdot{4}\cdot108,5\cdot10^{-9}\cdot30,4\cdot10^{-9})} \approx4,9809 \).

Следовательно, n=5.

Сайт:	Система электронного и дистанционного обучения СВФУ
Курс:	Физика атома и ядра. Слепцов И.А., Слепцов А.А.
Книга:	1. Атом Резерфорда – Бора
Напечатано::	Гость
Дата:	Tuesday, 23 July 2024, 08:31

1. Атом Резерфорда – Бора

Оглавление

Примеры решения задач

Задача №1.

Задача №2.

Задача №3.

Задача №4.

Задача №5.

Задача №6.

Задача №7.

Задача №1.

Задача №2.

Задача №3.

Задача №4.

Задача №5.

Задача №6.

Задача №7.