2. Волновые свойства вещества
Примеры решения задач
| Сайт: | Система электронного и дистанционного обучения СВФУ |
| Курс: | Физика атома и ядра. Слепцов И.А., Слепцов А.А. |
| Книга: | 2. Волновые свойства вещества |
| Напечатано:: | Гость |
| Дата: | Thursday, 28 November 2024, 04:41 |
Примеры решения задач
Задача №1.
При каком значении скорости дебройлевская длина волны микрочастицы равна ее комптоновской длине волны?
Задача №2.
Найти длину волны де Бройля для электрона, обладающего кинетической энергией 3,0 МэВ.
Задача №3.
Параллельный пучок электронов, разогнанных в электрическом поле с разностью потенциалов 15В, падает на узкую прямоугольную диафрагму шириной 0,008 нм. Найти ширину главного дифракционного максимума на экране, расположенном на расстоянии 60 м от диафрагмы.
Задача №4.
Частица массы m находится в одномерной прямоугольной яме потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы l. Найти возможные значения энергии частицы, имея в виду, что реализуется лишь такие состояния ее движения, для которых в пределах данной ямы укладывается целое число дебройлевских полуволн.
Задача №5.
Средняя кинетическая энергия электрона в невозбужденном атоме водорода равна 13,6 эВ. Исходя из соотношений неопределенностей, найти наименьшую неточность, с которой можно вычислить координату элемента в атоме.
Задача №6.
Частица массы m движется в одномерном потенциальном поле U=kx2/2 (гармонический осциллятор). Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию частицы в таком поле.
Задача №1.
При каком значении скорости дебройлевская длина волны микрочастицы равна ее комптоновской длине волны?
|
Дано: λC=λБ |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: v=? |
Комптоновская длина волны определяется формулой
λC=\( \frac{h}{mc} \), |
(1) |
где m - масса микрочастицы, c - скорость света в вакууме, h - постоянная Планка. Поскольку λC определяется через c, то ее дебройлевскую длину запишем в релятивистской форме
\( {\lambda}_Б=\frac{h\sqrt{1- {\beta }^2}}{mv} \). |
(2) |
где β=v/c, v - скорость микрочастицы. По условию задачи имеет место равенство
\( \frac{h\sqrt{1-{\beta}^2}}{mv}=\frac{h}{mc} \). |
(3) |
Преобразуя (3), получим
\( \sqrt{1-{\beta}^2}=\frac{v}{c}=\beta \). |
(4) |
Решая радикальное уравнение (4), найдем значение скорости микрочастицы
\( v=\frac{c}{\sqrt{2}} \)=0,707c=2,12м/с. |
Задача №2.
Найти длину волны де Бройля для электрона, обладающего кинетической энергией 3,0 МэВ.
|
Дано: T=3,0 МэВ |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: λ=? |
Из условия задачи следует, что кинетическая энергия электрона намного больше, чем ее энергия покоя (T>>mec2=0,511 МэВ). Следовательно, она определяется релятивистской формулой T=E-E0, где \( E=\sqrt{p^2c^2+E^2_0} \). Это позволяет написать следующее равенство
\( {(T+E_0)}^2=p^2c^2+E^2_0 \), |
(1) |
Решая уравнение (1) относительно p, находим
\( p=\frac{1}{c}\sqrt{(T(T+2E_0)} \). |
(2) |
Используя соотношение де Бройля, находим
\( \lambda=\frac{ch}{\sqrt{T(T+2E_0)}} \). |
(3) |
Расчет:
\( \lambda=\frac{6,626\cdot10^{-34}\cdot2,998\cdot10^8}{\sqrt{{(3,0\cdot10^2\cdot1,6\cdot10^{-19})}^2+2\cdot0,511\cdot1,6\cdot10^{-19}\cdot3\cdot1,6\cdot10^{-19}}}=3,6\cdot10^{-3} \)Å. |
Задача №3.
Параллельный пучок электронов, разогнанных в электрическом поле с разностью потенциалов 15В, падает на узкую прямоугольную диафрагму шириной 0,008 нм. Найти ширину главного дифракционного максимума на экране, расположенном на расстоянии 60 м от диафрагмы.
|
Дано: φ=15 В a=0,08 мм l=60 cм |
Решение:  |
|---|---|
|
Найти: b=? |
Чтобы найти ширину главного дифракционного максимума, воспользуемся формулой
asinφ1=λ, |
(1) |
где λ - длина волны, φ1 - первый дифракционный угол, a - ширина диафрагмы. Длина волны определяется соотношением де Бройля
\( \lambda=\frac{h}{p} \), |
(2) |
где p - импульс частицы. Кинетическая энергия электрона, которую он получил при разгоне в поле, равна
T=eφ=15 эВ. |
(3) |
Следовательно, движение электрона нерелятивистское, и импульс частицы определяется формулой
\( p=\sqrt{2mT} \). |
(4) |
Дифракционный угол φ1 определим из геометрии движения электрона после прохождения диафрагмы
\( tg{ \varphi}_1=\frac{b}{2l} \). |
(5) |
Поскольку дифракционный угол φ1 мал, то (5) можно заменить другим соотношением
\( sin{\varphi}_1\approx\frac{b}{2l} \). |
(6) |
Применяя формулу (1), (2). (4) и (6), получим выражение для ширины дифракционного максимума b на экране:
\( b=2lsin{\varphi}_1=2l\frac{\lambda}{a}=\frac{2lh}{a\sqrt{2mT}} \). |
(7) |
Расчет:
\( b=\frac{2\cdot0,6\cdot6,626\cdot10^{-34}}{8\cdot10^{-5}\cdot\sqrt{2\cdot0,911\cdot10^{-30}\cdot15\cdot1,602\cdot10^{-19}}}=4,749\cdot10^{-6} \)м=4,8мкм. |
Задача №4.
Частица массы m находится в одномерной прямоугольной яме потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы l. Найти возможные значения энергии частицы, имея в виду, что реализуется лишь такие состояния ее движения, для которых в пределах данной ямы укладывается целое число дебройлевских полуволн.
|
Дано: l, m |
Решение:  |
|---|---|
|
Найти: En=? |
По условию задачи имеем
\( l=n\frac{{\lambda}_n}{2} \), n=1,2,... |
(1) |
Полная энергия частицы равна
E=T+U, |
(2) |
Внутри ямы частица движется свободно, то есть ее потенциальная энергия U=0. Следовательно, полную энергию частицы составляет ее кинетическая энергия
\( E=\frac{p^2}{2m} \). |
(3) |
Используя соотношением де Бройля для длины волны и импульса частицы с учетом условия (1) найдем энергетические уровни частицы в яме
\( E_n=\frac{h^2}{8ml^2}n^2 \). |
(4) |
Учитывая соотношение между константой h Планка и константой ћ Планка - Дирака, запишем (4) в следующем виде:
\( E_n=\frac{{\pi}^2{\hbar}^2}{2ml^2}n^2 \). |
(5) |
Задача №5.
Средняя кинетическая энергия электрона в невозбужденном атоме водорода равна 13,6 эВ. Исходя из соотношений неопределенностей, найти наименьшую неточность, с которой можно вычислить координату элемента в атоме.
|
Дано: T=13,6 эВ |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: Δx=? |
Соотношение неопределенностей Гайзенберга для координаты x и составляющей импульса по этой оси имеет вид
ΔxΔpx≥ћ. |
(1) |
Отсюда следует, что наименьшая неточность координаты определяется из равенства
\( \Delta{x}=\frac{\hbar}{\Delta{p_x}} \). |
(2) |
Положим, что неопределенность Δpx импульса равна по порядку величины самому импульсу
Δp≈p. |
(3) |
По условию задачи кинетическая энергия намного меньше, чем его энергия покоя. Это позволяет нам рассматривать электрон как нерелятивистскую частицу и определить ее импульс при помощи классической формулы
\( p=\sqrt{2mT} \). |
(4) |
Тогда наименьшая неточность координаты приблизительно равна
\( \Delta{x}\approx\frac{\hbar}{\sqrt{2mT}} \). |
(5) |
Расчет:
\( \Delta{x}=\frac{1,0546\cdot10^{-34}}{\sqrt{2\cdot9,11\cdot10^{-31}\cdot13,6\cdot1,6\cdot10^{-19}}}=0,529\cdot10^{-10} \)м. |
Задача №6.
Частица массы m движется в одномерном потенциальном поле U=kx2/2 (гармонический осциллятор). Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию частицы в таком поле.
|
Дано: U=kx2/2 |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: En=? |
Полная энергия частицы равна
E=T+U, |
(1) |
где ее кинетическая энергия равна
\( T=\frac{p^2}{2m} \). |
(2) |
Найдем минимальную величину импульса с помощью соотношения неопределенностей
ΔxΔpx≥ћ. |
(3) |
Искомая величина не может быть меньше наименьшей неопределенности в ее измерении. По этой причине можно считать, что имеют место следующие равенства:
xmin=(Δx)min, pmin=(Δp)min. |
(4) |
Следовательно, минимальная кинетическая энергия электрона равна
\( T=\frac{{\hbar}^2}{2mx^2} \). |
(5) |
Поставляя выражения для величин T и U в формулу (1) получим
\( E\approx\frac{{\hbar}^2}{2mx^2}+\frac{kx^2}{2} \). |
(6) |
Величина E будет иметь минимальное значение в точке с координатой x=xmin. Чтобы найти xmin нужно решать уравнение, задающее условие минимума
\( \frac{dE}{dx}=0 \). |
(7) |
В нашем случае оно имеет вид
\( kx=\frac{{\hbar}^2}{mx^3} \). |
(8) |
Отсюда находим x2 и поставим в соотношение (6), и в результате получим искомое выражение
\( E_{min}=\hbar\sqrt{\frac{k}{m}}=\hbar\omega \), |
(9) |
где k - коэффициент квазиупругости, характеризующий поле, в котором движется частица.