5. Молекулы и кристаллы
Примеры решения задач
| Сайт: | Система электронного и дистанционного обучения СВФУ |
| Курс: | Физика атома и ядра. Слепцов И.А., Слепцов А.А. |
| Книга: | 5. Молекулы и кристаллы |
| Напечатано:: | Гость |
| Дата: | Sunday, 25 August 2024, 20:24 |
Примеры решения задач
Задача №1.
Найти угловую скорость вращения молекулы водорода на первом возбужденном вращательном уровне, если расстояние между центрами атомов равно 0,74Å.
Задача №2.
Найти для молекулы HCl вращательные квантовые числа двух соседних уровней, разность которых 7,86 МэВ
Задача №3.
Найти отношение энергий, которые необходимо затратить для возбуждения двухатомной молекулы HI на первый колебательный и первый вращательный уровни.
Задача №4.
Оценить энергию нулевых колебаний одного моля алюминия, если межатомное расстояние a=0,3нм и скорость распространения акустических колебаний v=4км/с.
Задача №5.
Определить энергию U0 нулевых колебаний охлажденного до затвердевания моля аргона (температура Дебая Θ=92K).
Задача №6.
Характеристическая температура Эйнштейна для меди ΘЭ=316K. Найти коэффициент квазиупругой силы.
Задача №7.
Скорость поперечных волн в алюминии v⊥=3130м/с и продольных v||=6400м/с. Определить температуру ΘД Дебая для алюминия.
Задача №8.
Оценить скорость распространения акустических колебаний в алюминии, дебаевская температура которого Θ=396K.
Задача №1.
Найти угловую скорость вращения молекулы водорода на первом возбужденном вращательном уровне, если расстояние между центрами атомов равно 0,74Å.
|
Дано: d=0,74Å |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: ωr=? |
Величина момента импульса вращающейся квантовой системы (например, молекулы) квантуется по формуле
\( M_J=\hbar\sqrt{J(J+1)} \), |
(1) |
где J=0,1,2.... Квантовое число J называется вращательным. Момент импульса вращения тела, которое вращается вокруг неподвижной оси, определяется следующим образом:
M=ωrI, |
(2) |
где ωr - угловая скорость вращения, 
- момент инерции тела относительно этой оси. Сопоставляя формулы (1) и (2), найдем
\( \omega_r=\frac{M}{I}=\frac{\hbar\sqrt{J(J+1)}}{I} \). |
(3) |
Если молекула состоит из двух одинаковых атомов, то момент инерции относительно оси, проходящей через ее центр инерции, равен
\( I=\frac{1}{2}md^2 \), |
(4) |
где d - расстояние между центрами атомов, m - масса одного атома. В случае атома водорода она равна 1,67·10-27кг. В первом возбужденном состоянии J=1. Поэтому с учетом (4) получим
\( \omega_r=\frac{2\sqrt{2}\hbar}{md^2} \). |
(5) |
Расчет:
\( \omega_r=\frac{2\sqrt{2}\cdot1,0546\cdot10^{-34}}{1,67\cdot10^{-27}\cdot{(0,74\cdot10^{-10})}^2}=3,259\cdot10^{13}\approx3,3\cdot10^{13} \)c-1. |
Задача №2.
Найти для молекулы HCl вращательные квантовые числа двух соседних уровней, разность которых 7,86 МэВ
|
Дано: δEJ,J+1=7,86МэВ |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: J=? J+1=? |
Вращательная энергия молекулы имеет значения
\( E_J=\frac{M^2}{2I}=\frac{\hbar^2}{2I}J(J+1) \) (J=0,1,...). |
(1) |
Расстояние между двумя соседними уровня равно
\( \delta{E}_{J,J+1}=E_{J+1}-E_J=\frac{\hbar^2}{I}(J+1) \). |
(2) |
Из формулы следует, что
\( J+1=\frac{I}{\hbar^2}\delta{E}_{J,J+1} \) |
(3) |
Момент инерции двухатомной молекулы из разных атомов определяется формулой
\( I=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}d^2 \), |
(4) |
где m1, m2 - массы атомов, d - расстояние между центрами атомов. Чтобы вычислить момент инерции I системы, необходимы следующие табличные данные:
m1=mH=1,007825а.е.м., m1=mCl=34,968854а.е.м., 1а.е.м.=1,660·10-27а.е.м., d=1,275·10-10м. |
Расчет:
\( \mu=\frac{1,007825\cdot34,968854\cdot{(1,660\cdot10^{-27})}^2}{(1,008725+34,968854)\cdot1,660\cdot10^{-27}}=1,626 \)кг, |
|
I=μd2=1,626·10-27·(1,275·10-10)2=2,643·10-47кг·м2, |
|
\( J+1=\frac{7,86\cdot10^{-4}\cdot1,6\cdot10^{-19}\cdot2,643\cdot10^{-47}}{{(1,0546\cdot10^{-34})}^2}=2,989\approx3 \). |
Следовательно, J=2.
Задача №3.
Найти отношение энергий, которые необходимо затратить для возбуждения двухатомной молекулы HI на первый колебательный и первый вращательный уровни.
|
Дано: HI |
Решение:  |
|---|---|
|
Найти: \( \eta =\frac{\Delta{E}_1^{кол}}{\Delta{E}_1^{вр}} \)=? |
В первом приближении молекулы могут колебаться и вращаться относительно общего центра инерции независимо друг от друга. Так колебательная энергия Ev, соответствующая колебаниям молекулы, определяется выражением
\( E_{\nu}=\left(\nu+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega \) (v=0,1,...), |
(1) |
где v - колебательное квантовое число, ω - собственная частота колебаний молекулы, определяемая как частота осциллятора \( \omega=\sqrt{k/m} \). А вращательная энергия Er, связанная вращением молекулы в целом, квантуется по формуле (1) задачи 2.
Определим энергию перехода на первый колебательный уровень:
\( \Delta{E}_1^{кол}={E}_1^{кол}-{E}_0^{кол}=\frac{3}{2}\hbar\omega-\frac{1}{2}\hbar\omega=\hbar\omega \). |
(2) |
Энергия перехода на первый вращательный уровень равна
\( {E}_1^{вр}=\frac{\hbar^2}{I} \). |
(3) |
Выражение для искомой величины η имеет вид
\( \eta=\frac{\omega{I}}{\hbar}=\frac{\omega\mu{d}^2}{\hbar} \). |
(4) |
Приведем табличные данные: ω=4,350·1014c-1, d=1,604·10-10 м, mH=1,007825 а.е.м., м, mI=126,9045 а.е.м.
Расчет:
\( \mu=\frac{1,007825\cdot126,9045\cdot{(1,660\cdot10^{-27})}^2}{1,007825+126,9045)\cdot1,660\cdot10^{-27}}=1,66\cdot10^{-27} \)кг, |
|
I=1,66·10-27·(1,604·10-10)2=4,2678·10-47кг·м2, |
|
\( \eta=\frac{4,26783\cdot10^{-47}\cdot4,350\cdot10^{14}}{1,0546\cdot10^{-34}}=17,609\approx1,76\cdot10^2 \). |
Задача №4.
Оценить энергию нулевых колебаний одного моля алюминия, если межатомное расстояние a=0,3нм и скорость распространения акустических колебаний v=4км/с.
|
Дано: a=0,3 нм v=4 км/с |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: U0=? |
По модели Дебая выражение энергия нулевых колебаний для одного моля кристалла имеет вид
\( U_0=\frac{9}{8}N_A\hbar^2\omega_{max} \). |
(1) |
Здесь ωmax - максимальная частота нормальных колебаний решетки, при которых кристалл еще можно рассматривать как сплошную среду. Она равна
\( \omega_{max}=\nu^3\sqrt{6\pi^2n} \). |
(2) |
где n - концентрация атомов в кристалле, v - величина, принимаемая как «средняя» фазовая скорость звуковых волн в кристалле.
Допустим, что элементарной ячейке кристалле с объемом a3 приходится приблизительно один атом. Тогда концентрация атомов в кристалле определяется формулой
\( n\approx\frac{1}{a^3} \). |
(3) |
За «среднюю» скорость звуковых волн берем заданную скорость распространения волн. Тогда расчетная формула для оценки энергии нулевых колебаний имеет вид
\( U_0\approx\frac{9}{8a}N_A\hbar\nu\cdot\sqrt[3]{6\pi^2} \). |
(4) |
Расчет:
\( U_0\approx\frac{9}{8\cdot0,3\cdot10^{-9}}\cdot6,022\cdot10^{23}\cdot1,0546\cdot10^{-34}\cdot4\cdot10^3\cdot\sqrt[3]{6\cdot{3,1415}^2}=3,7\cdot10^3 \)Дж. |
Задача №5.
Определить энергию U0 нулевых колебаний охлажденного до затвердевания моля аргона (температура Дебая Θ=92K).
|
Дано: Θ=92K |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: U0=? |
Характеристическая температура Дебая равна
\( \Theta_Д=\frac{\hbar\omega_{max}}{k_Б} \). |
(1) |
Выразим энергию нулевых колебаний через дебаевскую температуру
\( U_0=\frac{9}{8}R\Theta_Д \), |
(2) |
где R - универсальная газовая константа, равна 8,314 Дж/К.
Расчет:
\( u_0=\frac{9}{8}\cdot8,314\cdot92=860 \)Дж. |
Задача №6.
Характеристическая температура Эйнштейна для меди ΘЭ=316K. Найти коэффициент квазиупругой силы.
|
Дано: ΘЭ=316K |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: к=? |
В квантовой теории теплоемкости атом представляется как гармонический осциллятор с собственной частотой ω, которая равна
\( \omega=\sqrt{\frac{\mathit{к}}{m_a}} \), |
(1) |
где к - коэффициент квазиупругости, ma - масса атома. Характеристическая температура ΘЭ Эйнштейна определяется уравнением
ћω=kБΘЭ. |
(2) |
Сопоставляя (1) и (2), находим
\( \mathit{к}={\left(\frac{k_Б\Theta_Э}{\hbar}\right)}^2m_a \). |
(3) |
Масса атома меди
ma=63,546а.е.м.·1,660·10-27кг/а.е.м.=1,055·10-25кг. |
Расчет:
\( \mathit{к}={\left(\frac{1,3807\cdot10^{-23}\cdot316}{1,0546\cdot10^{-34}}\right)}^2\cdot1,055\cdot10^{25}=180,548=180 \)кг/с2. |
Задача №7.
Скорость поперечных волн в алюминии v⊥=3130м/с и продольных v||=6400м/с. Определить температуру ΘД Дебая для алюминия.
|
Дано: v⊥=3130м/с v||=6400м/с |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: ΘД=? |
Выражение для температуры Дебая через «среднюю» скорость распространения волн в кристалле имеет вид
\( \Theta_Д=\frac{\hbar\nu}{k_Б}\sqrt[3]{6{\pi}^2n} \). |
(1) |
Выражение для «средней» скорости v определяется из уравнения
\( \frac{3}{\nu^3}=\frac{1}{\nu^3_{\parallel}}+\frac{2}{\nu^3_\perp} \). |
(2) |
Если найдем выражение для скорости v из (2) и поставим его в (1), то получим
\( \Theta_Д=\frac{\hbar\nu_{\parallel}\nu_{\perp}}{k_Б}\sqrt[3]{\frac{18{\pi}^2n}{\nu_{\perp}^3+2\nu^3_{\parallel}}} \). |
(3) |
Концентрация атомов в кристалле равна
\( n=\frac{ \rho{N_A}}{M} \). |
(4) |
Табличные данные: ρ=2,7·10-3кг/м3, M=26,98154·10-3моль-1.
Расчет:
\( \frac{\hbar\nu_{\parallel}\nu_{\perp}}{k_Б}=\frac{1,0546\cdot10^{-34}\cdot6400\cdot3130}{1,3807\cdot10^{-23}}=1,53\cdot10^{-4} \)м2K/c, |
|
\( n=\frac{2,7\cdot10^3\cdot6,022\cdot10^{23}}{26,98154\cdot10^{-3}}=6,026\cdot10^{25} \)м-3, |
|
\( \Theta_Д=1,53\cdot10^{-4}\sqrt[3]{\frac{177,652\cdot6,026\cdot10^{28}}{5,549\cdot10^{11}}}\approx410 \)K. |
Задача №8.
Оценить скорость распространения акустических колебаний в алюминии, дебаевская температура которого Θ=396K.
|
Дано: ΘД=396K |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: v=? |
Чтобы оценить скорость распространения колебаний, воспользуемся формулой (1) задачи 7. Из формулы следует, что
\( \nu=\frac{k_Б\Theta_Д}{\hbar}{\left[6\pi^2\cdot\frac{\rho{N_A}}{M}\right]}^{-1/3} \). |
(1) |
Табличные данные даны в предыдущей задаче.
Расчеты:
\( \nu=\frac{1,3708\cdot10^{-23}\cdot396}{1,0546\cdot10^{-34}}{\left[\frac{59,217\cdot2,7\cdot10^3\cdot6,022\cdot10^{23}}{26,98154\cdot10^{-3}}\right]}^{-1/3}=3,368\cdot10^3\approx3,4 \)км/c. |
|