6. Атомное ядро. Энергия связи

Примеры решения задач

Задача №1.

В ядре какого элемента содержится 14 протонов и 14 нейтронов?

Задача №2.

Естественный бор имеет атомную массу 10,811. Он состоит из двух изотопов с массами 10,013 и 11,009. Определить их процентное содержание.

Задача №3.

Какой состав ядер атомов лития, магния, алюминия?

Задача №4.

Найти плотность ядерного вещества. Считать, что в ядре с массовым числом A все нуклоны (протоны и нейтроны) плотно упакованы в пределах его радиуса.

Задача №5.

Найти энергию возбуждения, возникающего при захвате ядром ²⁰⁶Pb нейтрона с пренебрежимо малой кинетической энергией.

Задача №6.

Найти энергию связи ядра, которое имеет одинаковое число протонов и нейтронов, а радиус - 1,10 раз больше, чем у ядра Al.

Задача №7.

Определить с помощью табличных значений масс атомов энергию, необходимую для разделения ядра ¹⁶O на четыре одинаковые частицы.

Задача №8.

Вычислить с помощью формулы Вейцзекера энергию связи следующих ядер: а) ⁴⁰Ca б) ⁵⁰V, в) ¹⁰⁷Ag.

Задача №1.

В ядре какого элемента содержится 14 протонов и 14 нейтронов?

Дано: Z=14 N=14	Решение:
Найти: _ZX^A=?

Дано:

Z=14

N=14

Решение:

Найти:

_ZX^A=?

Число протонов определяет заряд атомного ядра

q=Ze,

(1)

где Z совпадает с порядковым номером химического элемента в таблице Менделеева. Из таблицы найдем, что искомый элемент есть кремний ₁₄Si. Чтобы указать конкретный изотоп данного элемента, необходимо определить общее число протонов и нейтронов. Это число называется массовым числом A. По условию задачи A=28. Для обозначения различных ядер используется запись вида _ZX^A. Так ядерный символ данного изотопа кремния имеет вид ₁₄Si²⁸.

Задача №2.

Естественный бор имеет атомную массу 10,811. Он состоит из двух изотопов с массами 10,013 и 11,009. Определить их процентное содержание.

Дано: m_a=10,811а.е.м. m_x=10,013а.е.м. m_y=11,009а.е.м.	Решение:
Найти: x=? y=?

Дано:

m_a=10,811а.е.м.

m_x=10,013а.е.м.

m_y=11,009а.е.м.

Решение:

Найти:

x=?

y=?

Атомную массу m_a естественного бора составляют лишь некоторые части масс m_x и m_y атомов отдельных изотопов (нуклидов):

m_a=xm_x+ym_y,

(1)

где x, y - доли масс m_x, m_y. Если атомную массу m_a принять за целое, то можно записать еще одно уравнение

1=x+y.

(2)

Таким образом, получили систему из двух уравнений. Решая систему, найдем ее корни

\( x=\frac{m_a-m_y}{m_x-m_y} \), y=1-x.

(3)

Расчет:

\( x=\frac{10,811-11,009}{10,013-11,009}=0,199\approx20 \)%, y=0,801≈80%.

Задача №3.

Какой состав ядер атомов лития, магния, алюминия?

Дано: Li,Mg,Al	Решение:
Найти: _ZX^A=?

Дано:

Li,Mg,Al

Решение:

Найти:

_ZX^A=?

Величинами, которыми характеризуют состав ядра, являются зарядовое число Z и массовое число A. Зарядовое число Z ядра совпадает с порядковым номером соответствующего элемента в таблице Менделеева. Массовое число A равно целому числу, ближайшему атомной массе элемента в атомных единицах массы (а.е.м.), указанной в той же таблице. Воспользуемся этой таблицей.

а) Литий Li(Z=3). Масса атома равна m_Li=6,941а.е.м. Отсюда следует, что A=7, ₃Li⁷, N=4.

б) Магний Mg(Z=12): m_Mg=24,305а.е.м., A=24, ₁₂Mg²⁴, N=12.

в) Алюминий Al(Z=13): m_Al=26,98154а.е.м., A=27, ₁₃Al²⁷, N=14.

Задача №4.

Найти плотность ядерного вещества. Считать, что в ядре с массовым числом A все нуклоны (протоны и нейтроны) плотно упакованы в пределах его радиуса.

Дано: A	Решение:
Найти: ρ=?

Дано:

A

Решение:

Найти:

ρ=?

В первом приближении ядро атома можно считать шаром. Тогда плотность его вещества можно определить следующим образом:

\( \rho=\frac{m_{\mathit{яд}}}{V} \),

(1)

где V - объем ядра, m_яд - его масса. Масса ядра приближенно равна

\( m_{\mathit{яд}}=\overline{m}_{\mathit{н}}A \).

(2)

Здесь \( \overline{m}_{\mathit{н}} \) - средняя масса нуклонов. Объем ядра можно найти по формуле

\( V=\frac{4}{3}\pi{R}^3 \).

(3)

Радиус R ядра определяется эмпирической формулой

R=R₀A^1/3,

(4)

где значения коэффициента R₀ лежат в пределах

R₀=(1,2-1,5)·10^-10.

(5)

Поставляя в формуле (1) выражения (2), (3), (4), получим

\( \rho=\frac{3\overline{m}_{\mathit{н}}}{4\pi{R_0^3}} \).

(6)

Средняя масса \( \overline{m}_{\mathit{н}} \) нуклонов равна

\( \overline{m}_{\mathit{н}} \)=(m_p+m_n)/2=1,673·10^-27кг.

Расчет:

\( \rho=\frac{3\cdot1,673\cdot10^{-27}}{4\cdot3,14159\cdot{(1,2\cdot10^{-15})}^3}=2,311\cdot10^{17}\approx2\cdot10^{17} \)кг/м³.

Задача №5.

Найти энергию возбуждения, возникающего при захвате ядром ²⁰⁶Pb нейтрона с пренебрежимо малой кинетической энергией.

Дано: ²⁰⁷Pb, ²⁰⁶Pb	Решение:
Найти: ΔE^*=?

Дано:

²⁰⁷Pb, ²⁰⁶Pb

Решение:

Найти:

ΔE^*=?

Из условия задачи следует, что энергия возбуждения ядра равна энергии отрыва нейтрона из него.

ΔE^*=E_отр(n¹).

(1)

Энергией отрыва называется минимальная энергия, необходимая для удаления из ядра наименее связанный с ним нуклон. Внутренняя энергия ядра - это та энергия притяжения, которая удерживает нуклоны в ядре. Эту энергию обычно называют энергией связи ядра. Следовательно, при кинетической энергии нейтрона, равной нулю, закон сохранения энергии имеет вид

E_св(²⁰⁷Pb)=E_отр(n¹)+E_св(²⁰⁶Pb).

(2)

Следовательно, энергия возбуждения ядра ²⁰⁷Pb равна

ΔE^*=E(₈₂Pb²⁰⁷)-E(₈₂Pb²⁰⁶).

(3)

Энергия связи ядра равна

E_св(_ZX^A)=[Zm_p+(A-Z)m_n-m_яд]·531,5Мэв.

(4)

В квадратных скобках массы частиц заданы в атомных единицах массы. Если поставим в формуле (3) соответствующие выражения (4) для энергий связи ядер, то получим

ΔE^*=(m_n-m₂₀₇+m₂₀₆)·931,5МэВ.

(5)

Табличные данные: m_n=1,008665а.е.м., m₂₀₇=206,9759а.е.м., m₂₀₆=205,97446а.е.м.

Расчет:

ΔE^*=(1,008665-206,9759+205,97446)·931,5=6,730МэВ.

Задача №6.

Найти энергию связи ядра, которое имеет одинаковое число протонов и нейтронов, а радиус - 1,10 раз больше, чем у ядра Al.

Дано: η=1,10, ²⁷Al Z_x=N_x	Решение:
Найти: E_св=?

Дано:

η=1,10, ²⁷Al

Z_x=N_x

Решение:

Найти:

E_св=?

Радиус шарообразного ядра атома определяется

R=R₀A^1/3.

(1)

Следовательно, отношение радиусов ядер искомого элемента и алюминия равно

\( \eta=\frac{R_X}{R_{Al}}=\frac{A^{1/3}_X}{A^{1/3}_{Al}} \).

(2)

Из формулы (2) находим массовое число A_x ядра искомого элемента:

A_x=η³A_Al=1,331·27=35,937=36.

(3)

По условию задачи Z_x=N_x=A_x/2. Поэтому имеем, что Z=18. Искомым элементом будет аргон (₁₈Ar³⁶).

Для расчета энергии связи воспользуемся более удобной формулой

E_св=[ZΔ_H+(A-Z)Δ_n-Δ_a]·931,5Мэв,

(4)

где Δ_H, Δ_n, Δ_a - избыток массы (M-A) атома водорода, нейтрона и атома, соответствующего данному ядру.

Табличные данные: Δ_H=0,007825, Δ_n=0,008665, Δ_Ar=-0,032452.

Расчет:

E_св=[18·0,007825+18·0,008665+0,032452]·931,5=306,7=307МэВ.

Задача №7.

Определить с помощью табличных значений масс атомов энергию, необходимую для разделения ядра ¹⁶O на четыре одинаковые частицы.

Дано: ¹⁶O, N=4,	Решение:
Найти: E_разд=?

Дано:

¹⁶O, N=4,

Решение:

Найти:

E_разд=?

Зарядовое число кислорода равно 8. Поэтому зарядовое число новых частиц равно

Z=8:4=2.

Ядро ¹⁶O разделилось на четыре ядра гелия (₂He¹⁶). Закон сохранения энергии имеет вид

E_св(₈O¹⁶)=4·E_св(₂He⁴)+E_разд.

(1)

Отсюда следует

E_разд=E_св(₈O¹⁶)-4·E_св(₂He⁴).

(2)

Энергия связи по формуле(4) задачи 6.

Табличные данные: Δ_O=0,005085а.е.м., Δ_He=0,002604а.е.м.

Расчет:

E_св(₈O¹⁶)=(8·0,007825+8·0,008665+0,005085)·931,5=127,620МэВ,
E_св(₂He⁴)=(2·0,007825+2·0,008665+0,002604)·931,5=28,2952МэВ,
E_разд=127,620-4·28,2952=14,4МэВ.

Задача №8.

Вычислить с помощью формулы Вейцзекера энергию связи следующих ядер: а) ⁴⁰Ca б) ⁵⁰V, в) ¹⁰⁷Ag.

Дано: ⁴⁰Ca, ⁵⁰V, ¹⁰⁷Ag	Решение:
Найти: E_св=?

Дано:

⁴⁰Ca, ⁵⁰V, ¹⁰⁷Ag

Решение:

Найти:

E_св=?

Полуэмпирическая формула Вейцзекера для энергии связи имеет вид

\( E_{\mathit{св}}=14A-13A^{2/3}-0,584\frac{Z^2}{A^{1/3}}-19,3\frac{{(A-2Z)}^2}{A}+\frac{33,5}{A^{3/4}}\delta \),

(1)

где

а) Ядро атома изотопа кальция ⁴⁰Ca: A=20, Z=20, δ=1.

б) Ядро атома изотопа ванадия ⁵⁰V: A=50, Z=23, δ=-1.

в) Ядро атома изотопа серебра ¹⁰⁷Ag: A=107, Z=47, δ=-1.

Расчеты представим в виде таблицы:

№	Виды энергии	₂₀Ca⁴⁰	₂₃V⁵⁰	₄₇Ag¹⁰⁷
1	Объемная энергия E_об	560	700	1498
2	Поверхностная энергия E_пов	152,049	176,437	292,999
3	Кулоновская энергия E_кул	68,305	83,858	271,736
4	Энергия асимметрии E_ас	0	6,176	30,483
5	Энергия спаривания E_спар	2,106	-1,7816	0
6	Энергия связи E_св	341,752 МэВ	431,757 МэВ	902,787 МэВ

Сайт:	Система электронного и дистанционного обучения СВФУ
Курс:	Физика атома и ядра. Слепцов И.А., Слепцов А.А.
Книга:	6. Атомное ядро. Энергия связи
Напечатано::	Гость
Дата:	Tuesday, 23 July 2024, 08:11

6. Атомное ядро. Энергия связи

Оглавление

Примеры решения задач

Задача №1.

Задача №2.

Задача №3.

Задача №4.

Задача №5.

Задача №6.

Задача №7.

Задача №8.

Задача №1.

Задача №2.

Задача №3.

Задача №4.

Задача №5.

Задача №6.

Задача №7.

Задача №8.