7. Радиоактивность

Примеры решения задач

Задача №1.

Образец радиоактивного радона \( ^{222}_{86}{Rn} \) содержит 10¹⁰ радиоактивных ядер с периодом полураспада 3,825 суток. Сколько ядер распадается за сутки?

Задача №2.

Через какое время в препарате полония \( _{84}{Po}^{210} \) распадается 75,0% имеющихся атомов, если непрерывно удалять радиоактивные продукты распада?

Задача №3.

Сколько ядер распадается за 1с. в куске урана \( ^{238}_{92}{U} \) массой 1,0 кг? Какова активность этого урана?

Задача №4.

Элемент тория \( ^{232}_{90}{Th} \) в результате радиоактивного распада превращается в изотоп свинца \( ^{208}_{82}{Pb} \). Сколько α - и β - частиц выбрасывает при этом каждый атом?

Задача №5.

Период полураспада радиоактивного изотопа ³⁷Ar·T=32 дня. Найти активность A препарата ³⁷Ar через: а) 1 день; б) 1000 дней после его изготовления, если начальная активность A₀=100мКи.

Задача №6.

Ядро \( _{84}{Po}^{210} \) полония превратилось в ядро \( ^{206}_{82}{Pb} \) свинца. Определить кинетическую энергию α - частицы и ядра отдачи.

Задача №7.

Зная массу дочернего нуклида и энергию β - распада Q, найти массу нуклида:

а) ⁶He, испытывающего β^- - распада, Q=3,50 МэВ;

б) ²²Na, испытывающего β⁺ - распада, Q=1,82 МэВ.

Задача №8.

С какой скоростью должны сближаться источник и поглотитель, состоящие из свободных ядер Ir¹⁹¹, чтобы можно было наблюдать максимальное поглощение γ - квантов с энергией 129 кэВ?

Задача №1.

Образец радиоактивного радона \( ^{222}_{86}{Rn} \) содержит 10¹⁰ радиоактивных ядер с периодом полураспада 3,825 суток. Сколько ядер распадается за сутки?

Дано: N₀=10¹⁰, \( ^{222}_{86}{Rn} \) T_1/2=3,825сут. t=1сут.	Решение:
Найти: ΔN=?

Дано:

N₀=10¹⁰, \( ^{222}_{86}{Rn} \)

T_1/2=3,825сут.

t=1сут.

Решение:

Найти:

ΔN=?

Число распавшихся ядер за промежуток времени Δt равно

ΔN=N₀-N,

(1)

где N₀ - число ядер в начальный момент времени t=0, N - число не распавшихся ядер в момент времени t=t. Число N определяется законом радиоактивного распада

N=N₀e^-λt.

(2)

где величина λ - постоянная распада. Периодом полураспада T_1/2 называется промежуток времени, за который распадается половина первоначального числа ядер. С учетом периода полураспада преобразуем (2) и получим другую запись закона

\( \Delta{N}=N_0\left(1-e^{\frac{ln2}{T_{1/2}}t}\right) \).

(3)

Расчет:

ΔN=10¹⁰(1-exp(0,693/3,825))=10¹⁰(1-0,834256)=1,66·10⁹частиц/сут.

Задача №2.

Через какое время в препарате полония \( _{84}{Po}^{210} \) распадается 75,0% имеющихся атомов, если непрерывно удалять радиоактивные продукты распада?

Дано: η=75,0%, \( _{84}{Po}^{210} \)	Решение:
Найти: t=?

Дано:

η=75,0%, \( _{84}{Po}^{210} \)

Решение:

Найти:

t=?

По условию задачи имеем

ΔN=ηN₀.

(1)

Период полураспада T_1/2 и постоянная распада λ связаны между собой соотношением вида

\( \lambda=\frac{ln2}{T_{1/2}} \).

(2)

Применяя соотношение (2), запишем закон радиоактивного распада в виде

\( N=N_0\cdot2^{-\frac{t}{T_{1/2}}} \).

(3)

Учитывая, что ΔN=N₀-N, поставим в (1) выражения (3) и (2). В результате получим следующее равенство

\( \eta=1-2^{-\frac{t}{T_{1/2}}} \).

(4)

Отсюда следует, что

\( t=-\frac{T_{1/2}}{ln2}ln(1-\eta) \).

(5)

Табличные данные: T_1/2=138 суток для радиоактивного вещества ₈₄Po²¹⁰.

Расчет:

\( t=-\frac{138}{0,693}ln0,25=276 \)сут.

Задача №3.

Сколько ядер распадается за 1с. в куске урана \( _{92}^{238}{U} \) массой 1,0 кг? Какова активность этого урана?

Дано: m=1,0кг, \( _{92}^{238}{U} \) t=1c	Решение:
Найти: A=? ΔN=?

Дано:

m=1,0кг, \( _{92}^{238}{U} \)

t=1c

Решение:

Найти:

A=?

ΔN=?

Активностью образца называют величину

\( A=\left|\frac{dN}{dt}\right| \),

(1)

где N - число ядер в данный момент времени, dN<0. Она характеризует убыль числа ядер за единицу времени. Из закона радиоактивного распада следует, что

A=λN.

(2)

Используя связь между величинами λ и T_1/2, запишем (2) в виде

\( A=\frac{ln2}{T_{1/2}}N \).

(3)

Число ядер N в образце в данный момент времени определяется выражением

\( N=\nu{N_A}=\frac{m}{M}N_A \),

(4)

где v - число молей, содержащихся в препарате, m - масса образца, M - молярная масса вещества образца. И, окончательно, получим выражение для активности образца в следующем виде:

\( A=\frac{mln2}{MT_{1/2}}N_A \).

(5)

Табличные данные: T_1/2=4,5·10⁹ суток для радиоактивного вещества ₉₂U²³⁸.

Расчеты:

T_1/2=4,5·10⁹·365·24·3600=1,41812·10¹⁷c.
\( A=\frac{1\cdot0,693\cdot6,022\cdot10^{23}}{238\cdot1,41912\cdot10^{17}}=1,2356\cdot10^4 \)с^-1.

Число распавшихся ядер за 1c равно активности, dN=1,24·10⁴ частиц.

Задача №4.

Элемент тория \( _{90}^{232}{Th} \) в результате радиоактивного распада превращается в изотоп свинца \( _{82}^{208}{Pb} \). Сколько α - и β - частиц выбрасывает при этом каждый атом?

Дано: \( _{90}^{232}{Th} \rightarrow_{82}^{208}{Pb} \)	Решение:
Найти: n_α=? n_β=?

Дано:

\( _{90}^{232}{Th} \rightarrow_{82}^{208}{Pb} \)

Решение:

Найти:

n_α=?

n_β=?

По условию задачи массовое число A в результате радиоактивного распада изменилось на величину

ΔA=232-208=24.

Массовое число изменяется за счет α - излучения. Это дает следующее уравнение

24=4n_α.

(1)

Здесь учтено, что α - частица есть ядро атома гелия, и его массовое число A_α=4. Величина зарядового числа нового изотопа равна Z_Рв=ΔZ=8. Зарядовое число изменяется за счет обоих излучений. Поэтому второе уравнение имеет вид

8=2n_α-n_β.

(2)

Здесь учтено, что заряды частиц равны Z_α=2, Z_β=-1. Решение системы (1) - (2) дает следующие результаты: n_α=6, n_β=4.

Задача №5.

Период полураспада радиоактивного изотопа ³⁷Ar·T=32 дня. Найти активность A препарата ³⁷Ar через: а) 1 день; б) 1000 дней после его изготовления, если начальная активность A₀=100мКи.

Дано: T_1/2=32дня, ³⁷Ar A₀=100мКи a) t=1день б) t=1000дней	Решение:
Найти: A=?

Дано:

T_1/2=32дня, ³⁷Ar

A₀=100мКи

a) t=1день

б) t=1000дней

Решение:

Найти:

A=?

Учитывая соотношение A=λN, для активности препарата можно записать формулу

A=A₀e^-λt.

(1)

где A₀ - начальная активность препарата, A - его активность в момент t времени. Заменяя λ известным соотношением, получим

\( A=A_0e^{-\frac{ln2}{T_{1/2}}t} \).

(2)

Расчеты:

a) \( A=100\cdot{e}^{-\frac{ln2}{32}1}=100\cdot{0,97857}=98 \)мКи.
б) \( A=100\cdot{e}^{-\frac{ln2}{32}1000}=100\cdot{exp}(-21,66)=100\cdot3,9157\cdot10^{-11}мКи=3,9\cdot10^{-11} \)Ки.

Задача №6.

Ядро \( _{84}{Po}^{210} \) полония превратилось в ядро \( _{82}^{206}{Pb} \) свинца. Определить кинетическую энергию α - частицы и ядра отдачи.

Дано: \( _{84}{Po}^{210} \rightarrow_{82}^{206}{Pb} \)	Решение:
Найти: K_α=? K_Pb=?

Дано:

\( _{84}{Po}^{210} \rightarrow_{82}^{206}{Pb} \)

Решение:

Найти:

K_α=?

K_Pb=?

Схема рассматриваемого распада имеет вид

,

(1)

Q - энергетический, или тепловой эффект ядерной реакции. Она в общем виде определяется формулой

,

(2)

где , - суммы масс покоя частиц соответственно до и после реакции, c - скорость света в вакууме. В случае распада (1) энергетический эффект имеет вид

Q=[m_Po-(m_Pb+m_α)]·c².

(3)

Закон сохранения массы - энергии для распада (1) можно записать в следующем виде:

m_Poc²=m_Pbc²+m_αc²+T_Pb+T_α,

(4)

где T_Pb и T_α - кинетические энергии ядра Pb и α - частицы. Здесь предполагается, что до начала реакции ядро-мишень Po покоилось, и его кинетическая энергия T_Po равняется нулю. Из формул (3) и (4) следует

Q=T_Pb+T_α.

(5)

Используя соотношение (5) и закон сохранения импульса, мы можем найти кинетические энергии продуктов рассматриваемой реакции. Из закона сохранения импульса \( (|\vec{p_{\alpha}}|=|\vec{p_{Pb}}|) \) следует связь между кинетическими энергиями

\( T_{Pb}=\frac{m_{\alpha}}{m_{Pb}}T_{\alpha} \),

(6)

где T=p²/(2m). Поставляя (6) в (5), найдем

\( T_{\alpha}=\frac{Q}{1+m_{\alpha}/m_{Pb}} \),

(7)

Табличные данные: m_Po=209,98297а.е.м., m_Pb=205,97446а.е.м., m_α=4,00260а.е.м.

Расчет:

Q=[209,98297-(205,97446+4,00260)]·931,5=5,505МэВ,
\( T_{\alpha}=\frac{5,5}{1+4,00260/205,97446}=5,39 \)МэВ,
\( T_{Pb}=\frac{4\cdot5,34}{205}=0,11 \)МэВ.

Задача №7.

Зная массу дочернего нуклида и энергию β - распада Q, найти массу нуклида:

а) ⁶He, испытывающего β^- - распада, Q=3,50 МэВ;

б) ²²Na, испытывающего β⁺ - распада, Q=1,82 МэВ.

Дано: a) ⁶He, Q=3,50МэВ, β^- б) ²²Na, Q=1,82МэВ, β⁺	Решение:
Найти: m_He=? m_Na=?

Дано:

a) ⁶He, Q=3,50МэВ, β^-

б) ²²Na, Q=1,82МэВ, β⁺

Решение:

Найти:

m_He=?

m_Na=?

Нуклидом называют атом конкретного изотопа химического элемента.

а) Правило смещения электронного распада имеет вид

,

(1)

б) Правило смещения позитронного распада

,

Энергетический эффект бета - распада запишем в общем виде

Q=[m_X-(m_Y+m_e)]·931,5МэВ,

(2)

где m_X - масса материнского ядра X, m_Y - масса дочернего ядра Y, m_e - масса электрона в атомных единицах массы. Считая m_Y, Q известными, запишем выражение для массы m_X материнского ядра

\( m_X=m_Y+m_e+\frac{Q}{931,5} \)(а.е.м.)

(3)

Табличные данные: m_Li=6,015126а.е.м. для нуклида ₃Li⁶, m_Na=21,991384а.е.м. для нуклида ₁₀Na²², m_e=5,486·10^-4а.е.м.

Расчеты:

a) \( m_{He}=6,015126+5,4858\cdot10^{-4}+\frac{3,50}{931,5}=6,0194 \)а.е.м.
б) \( m_{Na}=21,991384+5,4858\cdot10^{-4}+\frac{1,82}{931,5}=21,9939 \)а.е.м.

Задача №8.

С какой скоростью должны сближаться источник и поглотитель, состоящие из свободных ядер Ir¹⁹¹, чтобы можно было наблюдать максимальное поглощение γ - квантов с энергией 129 кэВ?

Дано: E_γ=129кэВ, Ir₁₉₁	Решение:
Найти: v=?

Дано:

E_γ=129кэВ, Ir₁₉₁

Решение:

Найти:

v=?

Ядерное резонансное поглощение (эффект Мёссбауэра) заключается в том, что если одно ядро (источник) испускает γ - квант, то другое такое же ядро (поглотитель) с большой вероятностью этот квант поглощает, а затем излучает квант той же частоты. Такое же резонансное поглощение (излучение) обычно можно легко наблюдать у атомов, а в случае ядер оно наблюдается в определенных условиях. Энергии γ - квантов очень высоки, а энергии световых квантов очень малы по сравнению с ними. По этой причине энергия квантового перехода в атомах целиком уносится излучаемым световым фотоном, а в случае ядра энергия такого перехода распределяется между γ - квантом и ядром отдачи. Распределение энергии можно представить следующим образом:

ΔE=E_γ+T_яд,

(1)

где E_γ=p_γc - энергия вылетающего из ядра γ - кванта, c - скорость света в вакууме, T_яд - энергия отдачи ядра. Чтобы соблюдалось условие ΔE=E_γ резонансного поглощения, необходимо скомпенсировать энергию T_яд отдачи ядра. Это можно добиться, если будет сообщена источнику дополнительная энергия, численно равная кинетической энергии

\( T_{\mathit{яд}}=\frac{m_{\mathit{яд}}v^2}{2} \).

(2)

где v - относительная скорость сближения ядер. По закону сохранения абсолютные величины импульсов ядра отдачи и γ - кванта равны

p_яд=p_γ.

(3)

Отсюда следует

\( T_{\mathit{яд}}=\frac{p^2_{\mathit{яд}}}{2m_{\mathit{яд}}}=\frac{E^2_{\gamma}}{2m_{\mathit{яд}}c^2} \).

(4)

Сопоставление (2) и (4) приводит к выражению для относительной скорости сближения источника и поглотителя

\( v=\frac{E_{\gamma}}{m_{\mathit{яд}}c^2} \).

(5)

Табличные данные: m_яд=190,960850а.е.м., c=2,998м/с.

Расчеты:

\( v=\frac{129\cdot10^3\cdot1,6\cdot10^{-19}}{190,960850\cdot1,660\cdot10^{-27}\cdot2,998\cdot10^8}=217,18=217 \)м/с.

Сайт:	Система электронного и дистанционного обучения СВФУ
Курс:	Физика атома и ядра. Слепцов И.А., Слепцов А.А.
Книга:	7. Радиоактивность
Напечатано::	Гость
Дата:	Sunday, 24 November 2024, 10:24

7. Радиоактивность

Оглавление

Примеры решения задач

Задача №1.

Задача №2.

Задача №3.

Задача №4.

Задача №5.

Задача №6.

Задача №7.

Задача №8.

Задача №1.

Задача №2.

Задача №3.

Задача №4.

Задача №5.

Задача №6.

Задача №7.

Задача №8.