8. Ядерные реакции
Примеры решения задач
| Сайт: | Система электронного и дистанционного обучения СВФУ |
| Курс: | Физика атома и ядра. Слепцов И.А., Слепцов А.А. |
| Книга: | 8. Ядерные реакции |
| Напечатано:: | Гость |
| Дата: | Thursday, 3 October 2024, 00:07 |
Примеры решения задач
Задача №1.
Вычислите энергетический эффект реакции \( ^3_1{H}(d,n)^4_2{He} \).
Задача №2.
Вычислите энергетический эффект реакции \( ^{27}_{13}{Al}(\alpha,n){P}^{30}_{15} \).
Задача №3.
Вычислить пороговую энергию для реакции \( ^{14}_{7}{N}(n,\alpha)^{11}_{5}{B} \) и скорость центра масс системы «снаряд-мишень».
Задача №4.
Выход реакции (γ,n) при облучении медной пластинки толщиной d=1,00мм γ - квантами с энергией 17МэВ равен w=4,2·10-4. Найти сечение данной реакции.
Задача №5.
Ядро урана U235 при делении освобождает энергию 200МэВ. При взрыве урановой бомбы успевает прореагировать около 1,5кг урана. Какова масса эквивалентной тротиловой бомбы, если теплотворная способность тротила 4,1МДж/кг?
Задача №6.
Протоны, ускоренные разностью потенциалов 6.8МВ, бомбардируют неподвижную литиевую мишень. При столкновении протона с ядром изотопа Li7 образуются две α - частицы, разлетающие симметрично по отношению к направлению пучка протонов. Определить кинетическую энергию и угол разлета α - частиц.
Задача №7.
Найти электрическую мощность атомной электростанции, расходующей уран \( ^{235}_{92}{U} \) массой 0,1кг в сутки, если КПД станции 16%, если при делении каждого ядра урана выделяется энергия 200 МэВ.
Задача №1.
Вычислите энергетический эффект реакции \( ^{3}_{1}{H}(d,n)^{4}_{2}{He} \).
|
Дано: \( ^{3}_{1}{H}(d,n)^{4}_{2}{He} \) |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: Q=? |
В задаче дана сокращенная запись реакции в результате столкновения ядер двух изотопов водорода. На ядро-мишень \( ^3_1H \) (тритий) налетает ядро-снаряд \( ^2_1H \) (дейтрон), в результате которого вылетает нейтрон \( ^1_0n \) и образуется ядро-продукт \( (^4_2{He}) \). Запишем реакцию в более наглядной развернутой форме
\( ^3_1H+^2_1H \rightarrow^1_0n+^4_2{He} \). |
(1) |
Ядро-снаряд и вылетающая частица являются соответственно исходной и конечной легкими частицами, участвующими в реакции. Ядро-мишень называется материнским, а новое ядро-продукт - дочерним. Энергетический эффект реакции определяется, как и в случае радиоактивных распад, разностью суммы масс покоя частиц до и после реакции
Q=[(mH3+mH2)-(mn+mHe)]·931,5МэВ. |
(2) |
Табличные данные: mH3=3,016049а.е.м., mH2=2,014102а.е.м., mHe=4,002603а.е.м., mn=1,008665а.е.м.
Расчет:
Q=[(3,016049+2,014102)-(1,008665+4,002603)]·931,5=17,5895=17,6МэВ. |
(3) |
Энергетический эффект, или энергия реакции, положителен (Q>0), иными словами, сумма масс исходных частиц превосходит сумму масс образующихся частиц. По этой причине реакция происходит с выделением энергии. Такая реакция называется экзоэнергетической.
Задача №2.
Вычислите энергетический эффект реакции \( ^{27}_{13}{Al}(\alpha,n){P}^{30}_{15} \).
|
Дано: \( ^{27}_{13}{Al}(\alpha,n){P}^{30}_{15} \) |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: Q=? |
По условию задачи на ядро \( ^{27}_{13}{Al} \) изотопа алюминия налетает α - частица, вылетает нейтрон, образуется ядро-продукт \( ^{30}_{15}{P} \). Развернутая запись реакции имеет вид
\( ^{27}_{13}{Al}+^4_2{He} \rightarrow^1_0n+^{30}_{15}P+Q \). |
(1) |
Энергетический эффект вычисляется по формуле
Q=[(mAl+mHe)-(mn+mP)]·931,5МэВ. |
(2) |
Табличные данные: mAl=26,98154а.е.м., mP=29,97832а.е.м.
Расчет:
Q=[(26,98154+4,002603)-(1,008665+29,97832)]·931,5=-2,645МэВ. |
Энергия реакции отрицательна (Q<0), иными словами, сумма масс конечных частиц превосходит сумму масс исходных частиц. Поэтому реакция происходит с поглощением энергии. Такая реакция называется эндоэнергетической.
Задача №3.
Вычислить пороговую энергию для реакции \( ^{14}_{7}{N}(n,\alpha)^{11}_{5}{B} \) и скорость центра масс системы «снаряд-мишень».
|
Дано: \( ^{14}_{7}{N}(n,\alpha)^{11}_{5}{B} \) |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: Eпор=? vц.м.=? |
Пороговой энергией Eпор эндоэнергетической ядерной реакции называют ту минимальную кинетическую энергию (Ta)min налетающей частицы в лабораторной системе отсчета, при которой становится возможной эта реакция. Эту энергию, требуемую для начала реакции, можно вычислить по формуле
\( (T_{\alpha})_{min}=E_{\mathit{пор}}=-\frac{Q(m_X+m_{\alpha})}{M_X} \), |
(1) |
где Q - энергия реакции, mX и ma - массы ядра-мишени и налетающей частицы соответственно. Энергия рассматриваемой реакции равна
Q=[(mN+mn)-(mB+mα)]·931,5МэВ. |
(2) |
Чтобы вычислить скорость vц.м. центра масс системы «снаряд-мишень», необходимо обратиться к формуле для кинетической энергии движения центра масс
\( T_{ц.м.}=\frac{(m_X+m_{\alpha})v_{ц.м.}^2}{2} \). |
(3) |
С другой стороны,
Tц.м.=Eпор+Q. |
(4) |
Из формул (3) и (4) находим
\( v_{ц.м.}=\sqrt{\frac{2(E_{\mathit{пор}}+Q)}{m_X+m_{\alpha}}} \). |
(5) |
Табличные данные: mN=14,003074а.е.м., mB=11,009305а.е.м.
Расчет:
Q=[(14,003074+1,008665)-(11,009305+4,002603)]·931,5=-0,16МэВ, |
|
\( E_{\mathit{пор}}=\frac{14,003074+1,008665}{14,003074}\cdot(-1,16)=0,17 \)МэВ, |
|
\( v_{ц.м.}=\sqrt{\frac{2\cdot0,01\cdot10^6\cdot1,60\cdot10^{-19}}{15,011739\cdot1,67\cdot10^{-27}}}=3,58\cdot10^5 \)м/c. |
Задача №4.
Выход реакции (γ,n) при облучении медной пластинки толщиной d=1,00мм γ - квантами с энергией 17МэВ равен w=4,2·10-4. Найти сечение данной реакции.
|
Дано: (γ,n), d=1,00мм, w=4,2·10-4. T=17МэВ. |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: σ=? |
Чтобы исследовать ядерную реакцию в реальных физических опытах, направляют пучок налетающих частиц на мишень, содержащую множество исходных ядер. В этом случае непосредственно измеряемой величиной является доля частиц пучка, испытавших взаимодействие с частицами мишени
\( w=\frac{\Delta{N}}{N} \), |
(1) |
Эту долю w называют выходом реакции. В формуле (1) ΔN - среднее число частиц падающего на мишень пучка, которые столкнулись с ядрами мишени и вызвали ядерные реакции за данный промежуток Δt времени, N - среднее число частиц падающего пучка в том же промежутке времени. С другой стороны, вероятность ядерной реакции характеризуется ее эффективным сечением. Существует соотношение, связывающее сечение данной ядерной реакции с ее выходом
w=nσd, |
(2) |
где d - толщина мишени, n - число ядер в единице объема мишени. Концентрацию ядер в мишени можно вычислить при помощи формулы
\( n=\rho\frac{N_A}{M} \). |
(3) |
Следовательно, имеем следующую расчетную формулу для эффективного сечения реакции:
\( \sigma=\frac{w}{nd}=\frac{wM}{\rho{dN_A}} \). |
(4) |
Табличные данные: ρ=8,93·103кг/м3, M=63·10-3кг·моль-1.
Расчет:
\( n=\frac{8,93\cdot10^3\cdot6,022\cdot10^{23}}{63\cdot10^{-3}}=8,537\cdot10^{28} \)м-3, |
|
\( \sigma=\frac{4,2\cdot10^{-4}}{1\cdot10^{-3}\cdot8,537\cdot10^{-28}}=4,919\cdot10^{-30}м^2=\frac{4,919\cdot10^{-30}}{1\cdot10^{-28}м^2/б}=0,049 \)б. |
Задача №5.
Ядро урана U235 при делении освобождает энергию 200МэВ. При взрыве урановой бомбы успевает прореагировать около 1,5кг урана. Какова масса эквивалентной тротиловой бомбы, если теплотворная способность тротила 4,1МДж/кг?
|
Дано: U235, Q=200МэВ m=1,5кг q=4,1МДж/кг |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: mmp=? |
Масса mmp эквивалентной тротиловой бомбы определяется соотношением
\( m_{\mathit{тр}}=\frac{W}{q} \), |
(1) |
где W - энергия взрыва бомбы, q - теплотворная способность тротила. Энергия взрыва равна
W=QN, |
(2) |
где Q - энергетический эффект одной реакции, N - число всех реакций, равное числу всех прореагировавших ядер. Это число равно
\( N=\nu{N_A}=\frac{m}{M}N_A \). |
(3) |
Здесь v - число молей в веществе. Поставляя (2) и (3) в (1), получим
\( m_{\mathit{тр}}=\frac{mQ}{qM}N_A \). |
(4) |
Расчет:
\( W=200\cdot1,6\cdot10^{-13}\frac{1,5\cdot6,022\cdot10^{23}}{235\cdot10^{-3}}=1,2\cdot10^{14} \)Дж, |
|
\( m_{\mathit{тр}}=\frac{1,2\cdot10^{14}}{4,1\cdot10^6}=3\cdot10^7 \)кг=30000тонн. |
Задача №6.
Протоны, ускоренные разностью потенциалов 6.8МВ, бомбардируют неподвижную литиевую мишень. При столкновении протона с ядром изотопа Li7 образуются две α - частицы, разлетающие симметрично по отношению к направлению пучка протонов. Определить кинетическую энергию и угол разлета α - частиц.
|
Дано: U=6,8МВ |
Решение:  |
|---|---|
|
Найти: Tα=? ϑ=? |
Развернутая запись рассматриваемой ядерной реакции имеет вид
\( ^7_3{Li}+^1_1H \rightarrow2^4_2{He}+Q \). |
(1) |
Энергетический эффект ядра выражается соотношением
Q=[(mLi+mP)-2mα]·931,5. |
(2) |
Поскольку ядро - мишень неподвижна (TLi=0), закон сохранения энергии записывается следующим образом:
Q=2Tα+Tp. |
(3) |
Энергия протона, ускоренного электрическим полем с потенциалом U, равна
Tp=eU. |
(4) |
Из формул (2), (3) и (4) получим выражение для кинетической энергии α - частицы
\( T_{\alpha}=\frac{(m_{Li}+m_p+2m_{\alpha})\cdot931,5+eU}{2} \). |
(5) |
Теперь получим формулу для расчета угла разлета α - частиц. Из диаграммы импульсов видно, что
\( p_p=2p_{\alpha}cos\frac{\vartheta}{2} \). |
(6) |
Движения частиц в реакции являются нерелятивистскими, поэтому их импульсы определяются формулой
\( p=\sqrt{2mT} \). |
(7) |
Применяя (7), из формулы (6) получим выражение
\( cos\frac{\vartheta}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m_peU}{m_{\alpha}T_{\alpha}}} \). |
(8) |
Табличные данные: mp=1,0072765а.е.м., mLi=7,01600а.е.м., mα=4,002602а.е.м.
Расчеты:
\( T_{\alpha}=\frac{(7,01600+1,007276-2\cdot4,00260)\cdot931,5+6,8}{2}=12,1 \)МэВ. |
|
\( cos\frac{\vartheta}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1,0072765\cdot6,8}{4,002603\cdot12,1}}=\frac{1}{2}\sqrt{0,141426153}=0,18893343 \). |
|
\( \frac{\vartheta}{2}=arccos0,18803343=79^{\circ},16 \), ϑ=158°. |
Задача №7.
Найти электрическую мощность атомной электростанции, расходующей уран \( ^{235}_{92}{U} \) массой 0,1кг в сутки, если КПД станции 16%, если при делении каждого ядра урана выделяется энергия 200 МэВ.
|
Дано: \( ^{235}_{92}{U} \), Q=200МэВ m=0,1кг/сут КПД=16% |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: P=? |
Мощность атомной электростанции равна энергии W, вырабатываемой станцией за единицу времени
\( P=\frac{W}{t} \). |
(1) |
Вырабатываемая станцией энергия равна
W=QN, |
(2) |
где Q - энергетический эффект одной реакции, N - число всех реакций за время t. По условию задачи число всех реакций за сутки равно
\( N=\frac{m'}{M}N_A \), |
(3) |
где m′ - часть массы урана, которая непосредственно идет на ядерные реакции за сутки. Масса m′ равна
m′=КПД·m. |
(4) |
Поставим выражения (2), (3), (4) в (1), и получим
\( P=КПД\frac{mQN_A}{Mt} \). |
(5) |
Расчет:
\( P=0,16\cdot\frac{0,1\cdot200\cdot1,6\cdot10^{-13}\cdot6,022\cdot10^{23}}{235\cdot10^{-3}\cdot24\cdot3600}=1,5\cdot10^7Дж/с=15 \)МВт. |