9. Элементарные частицы
Примеры решения задач
Сайт: | Система электронного и дистанционного обучения СВФУ |
Курс: | Физика атома и ядра. Слепцов И.А., Слепцов А.А. |
Книга: | 9. Элементарные частицы |
Напечатано:: | Гость |
Дата: | Sunday, 25 August 2024, 20:20 |
Примеры решения задач
Задача №1.
Электрон прошел разность потенциалов и приобрел кинетическую энергию 0,76МэВ. Определить скорость электрона.
Задача №2.
Какое количество энергии выделится при аннигиляции электрона и позитрона, если энергия покоя электрона равна 0,511МэВ?
Задача №3.
Процесс возникновения пары электрон-позитрон происходит по следующей схеме:
γ+γ→e-+e+. |
Найти, какой скоростью будут обладать возникшие частицы, если энергия фотона E=3,02МэВ.
Задача №4.
Покоящийся пион распадается на мюон и нейтрино
π+→μ++vμ. |
Найти отношение энергии нейтрино и кинетической энергии мюона.
Задача №5.
Выяснить с помощью законов сохранения лептонного и барионного зарядов, возможны ли процессы:
1) n→p+e-+ve; 2) \( \tilde{\nu}_{\mu}+p \rightarrow{n}+\mu^+ \); 3) \( \mu^+ \rightarrow{e}^++\tilde{\nu}_e+\nu_{\mu} \); 4) π-+n→K-+K0; 5) K-+p→Σ++π-.
Задача №6.
Какие из приведенных ниже реакций запрещены законом сохранения странности:
1) π-+p→Λ+K0; 2) π-+p→K-+Σ+; 3) \( \tilde{p}+n \rightarrow\Lambda+\tilde{\Sigma}^+ \); 4) π-+n→Ξ-+K++K-; 5) \( \tilde{p}+p \rightarrow{\tilde{E}}^0+{\tilde{K}}^0+\pi \);
Задача №7.
Электрон и позитрон образованы в камере Вильсона фотоном энергией 6,00МэВ, радиус кривизны их траектории равен 3,5см. Какова индукция магнитного поля, в котором находится камера Вильсона?
Задача №8.
Оценить радиус дуантов циклотрона, если он предназначен для ускорения протонов до кинетической энергии 5МэВ, а индукция магнитного поля в нем равна 1Тл.
Задача №9.
Синхрофазотрон сообщает протонам кинетическую энергию 10ГэВ. Во сколько раз релятивистская масса протона больше его массы покоя?
Задача №10.
В магнитном поле циклотрона под действием разности потенциалов между дуантами происходит движение протонов. Сколько оборотов они должны сделать, чтобы их масса возросла на 5% по сравнению с массой покоящихся протонов? Между дуантами протоны проходят всегда при максимальной разности потенциалов, равной 30кВ.
Задача №1.
Электрон прошел разность потенциалов и приобрел кинетическую энергию 0,76МэВ. Определить скорость электрона.
Дано: Eγ=0,76МэВ |
Решение: |
---|---|
Найти: v=? |
По условию задачи электрон в электрическом поле приобрел энергию, большую, чем его энергия покоя (0,511МэВ). Следовательно, он движется со скоростью, сравнимой со скорость света в вакууме. Такую скорость необходимо определить, исходя из релятивистской формулы для кинетической энергии
\( T=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\beta^2}}-m_0c^2=m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}-1\right) \). |
(1) |
где m0 - масса покоя частицы (электрона), β=v/c, v - скорость частицы. Преобразуя формулу (1), находим выражение для величины β2. Оно имеет вид
\( \beta^2=1-{\left(\frac{m_0c^2}{T+m_0c^2}\right)}^2 \). |
(2) |
Из формулы (2) следует, что
\( v=c\sqrt{1-{\left(\frac{m_0c^2}{T+m_0c^2}\right)}^2} \). |
(3) |
Расчет:
\( v=2,988\cdot10^8\sqrt{1-{\left(\frac{0,511}{1,271}\right)}^2}=2,7358\cdot10^8 \)м/с. |
Задача №2.
Какое количество энергии выделится при аннигиляции электрона и позитрона, если энергия покоя электрона равна 0,511МэВ?
Дано: Ee=0,511МэВ |
Решение: |
---|---|
Найти: Q=? |
При столкновении электрон и позитрон «исчезают», превращаясь в электромагнитное излучение. В большинстве случаев они превращаются в два γ - кванта, разлетающиеся в противоположные стороны. Реакция исчезновения (или аннигиляции) частиц имеет вид
e-+e+→γ+γ. |
(1) |
Энергетический эффект данной реакции равен
Q=[(me-+me+)-2mγ]·931,5=2Ee=1,02МэВ. |
(2) |
Здесь учтено, что у квантов нет массы покоя, а массы электрона и позитрона равны.
Задача №3.
Процесс возникновения пары электрон-позитрон происходит по следующей схеме:
γ+γ→e-+e+. |
Найти, какой скоростью будут обладать возникшие частицы, если энергия фотона E=3,02МэВ.
Дано: Eγ=3,02МэВ |
Решение: |
---|---|
Найти: v=? |
Существует процесс образования электронно-позитронных пар, обратный аннигиляции. Гамма - частица может породить пару электрон - позитрон
γ→e-+e+. |
(1) |
только в присутствии некоторой третьей частицы, иначе будет нарушен закон сохранения импульса. Это отражено в условии задачи, где третьей частицей в данном процессе является второй γ-квант. В процессе первый квант исчезнет, и его энергия будет распределено между вторым квантом, электроном и позитроном:
Eγ=2(Te+m0c2). |
(2) |
Здесь учтено, что массы электрона и позитрона одинаковы. Из формулы (2) находим выражение для кинетической энергии электрона (или позитрона)
\( T_e=\frac{E_{\gamma}-2m_0c^2}{2} \). |
(3) |
Для той же величины Te имеем релятивистское выражение
\( T_e=m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-{\beta}^2}}-1\right) \). |
(4) |
Приравняв (3) и (4), после некоторых преобразований получим
\( \beta^2=1-\left(\frac{2m_0c^2}{E_{\gamma}}\right)^2 \). |
(5) |
Отсюда следует, что
\( v=c\sqrt{1-\left(\frac{2m_0c^2}{E_{\gamma}}\right)^2} \). |
(6) |
Расчет:
\( v=2,998\cdot10^8\sqrt{1-\left(\frac{2\cdot0,511}{3,02}\right)^2}=2,82\cdot10^8 \)м/c. |
Задача №4.
Покоящийся пион распадается на мюон и нейтрино
π+→μ++vμ. |
Найти отношение энергии нейтрино и кинетической энергии мюона.
Дано: π+→μ++vμ |
Решение: |
---|---|
Найти: \( \eta=\frac{E_{\nu}}{T_{\mu}} \)=? |
Энергию нейтрино можно найти из закона сохранения
Ev=Tμ-Q. |
(1) |
Энергетический эффект распада равен
Q=(mπ-mμ)c2, |
(2) |
где c - скорость света в вакууме. Нейтрино не имеет массы, и для него справедлива релятивистская формула, связывающая энергию и импульс безмассовой частицы
Ev=pvc, |
(3) |
где pv - импульс нейтрино. Из закона сохранения импульса следует, что
pv=pμ, |
(4) |
где pμ - импульс мюона. Если найдем выражение для импульса pμ и поставим его в (3), то найдем новое выражение для энергии Ev нейтрино. Для этого необходимо воспользоваться релятистскими выражениями для энергии частицы. Полная энергия мюона, который имеет массу E0μ покоя, равна
Eμ=Tμ+E0μ. |
(5) |
Общая релятивистская формула, связывающая энергию и импульс частицы с массой покоя, примет вид
\( E^2_{\mu}=p^2_{\mu}c^2+E^2_{0\mu} \). |
(6) |
Из системы уравнений (5) - (6) находим выражение для импульса мюона
\( p_{\mu}=\frac{1}{c}\sqrt{T_{\mu}(T_{\mu}+2E_{0\mu})} \). |
(7) |
Поставив (7) в (3), запишем равенство
\( Q-T_{\mu}=\sqrt{T_{\mu}(T_{\mu}+2E_{0\mu})} \). |
(8) |
Решая радикальное уравнение (8), находим выражение для кинетической энергии мюона
\( T_{\mu}=\frac{Q^2}{2(Q+E_{0\mu})} \). |
(9) |
Табличные данные: E0π=140МэВ, E0μ=106МэВ.
Расчеты:
Q=140-106=34МэВ, \( T_{mu}=\frac{34\cdot34}{2(34+106)}=4,1 \)МэВ, Ev=34-4,1=29,9МэВ, |
|
η=29,9/4,1=7,3. |
Задача №5.
Выяснить с помощью законов сохранения лептонного и барионного зарядов, возможны ли процессы:
1) n→p+e-+ve; 2) \( \tilde{\nu}_{\mu}+p \rightarrow{n}+\mu^+ \); 3) \( \mu^+ \rightarrow{e}^++\tilde{\nu}_e+\nu_{\mu} \); 4) π-+n→K-+K0; 5) K-+p→Σ++π-.
Решение: |
|
---|---|
К лептонам относятся электрон \( (e^{\mp}) \), мюон \( (\mu^{\mp}) \), тау-лептон \( (\tau^{\mp}) \), электронное, мюонное и τ - нейтрино. Кроме того, всем нейтрино соответствуют антинейтрино. Лептоны имеют лептонный заряд L, равный единице, для антилептонов L=-1. Для всех частиц, которые не относятся к лептонам, лептонный заряд равен нулю. Различают три вида лептонных зарядов: электронный Le, мюонный Lμ и таонный Lτ заряды.
К барионам относятся протон \( (p,\tilde{p}) \), нейтрон \( (n,\tilde{n}) \) и все гипероны: Λ-,Σ-,Ξ-Ω-гипероны. Для всех барионов присваивается барионный заряд, равный единице, для антибарионов B=-1. Для всех частиц, которые не относятся к барионам, барионный заряд равен нулю. Барионный заряд для всех барионов один.
Во всех процессах должно наблюдаться сохранение суммы отдельного вида лептонных чисел и сумма барионных чисел.
1) n→p+e-+ve;
Квантовые числа |
Сумма квантовых чисел исходных частиц |
Сумма квантовых чисел конечных частиц |
Запрещена ли данная реакция |
Le |
- |
1+1=2 |
Запрещена |
Lμ |
- |
- |
|
Lτ |
- |
- |
|
B |
1 |
1 |
2) \( \tilde{\nu}_{\mu}+p \rightarrow{n}+\mu^+ \);
Квантовые числа |
Сумма квантовых чисел исходных частиц |
Сумма квантовых чисел конечных частиц |
Запрещена ли данная реакция |
Le |
- |
- |
Не запрещена |
Lμ |
1 |
1 |
|
Lτ |
- |
- |
|
B |
1 |
1 |
3) \( \mu^+ \rightarrow{e}^++\tilde{\nu}_e+\nu_{\mu} \);
Квантовые числа |
Сумма квантовых чисел исходных частиц |
Сумма квантовых чисел конечных частиц |
Запрещена ли данная реакция |
Le |
- |
1+1=2 |
Запрещена |
Lμ |
1 |
1 |
|
Lτ |
- |
- |
|
B |
1 |
1 |
4) π-+n→K-+K0;
Квантовые числа |
Сумма квантовых чисел исходных частиц |
Сумма квантовых чисел конечных частиц |
Запрещена ли данная реакция |
Le |
- |
- |
Запрещена |
Lμ |
- |
- |
|
Lτ |
- |
- |
|
B |
1 |
- |
5) K-+p→Σ++π-.
Квантовые числа |
Сумма квантовых чисел исходных частиц |
Сумма квантовых чисел конечных частиц |
Запрещена ли данная реакция |
Le |
- |
- |
Не запрещена |
Lμ |
- |
- |
|
Lτ |
- |
- |
|
B |
1 |
1 |
Задача №6.
Какие из приведенных ниже реакций запрещены законом сохранения странности:
1) π-+p→Λ+K0; 2) π-+p→K-+Σ+; 3) \( \tilde{p}+n \rightarrow\Lambda+\tilde{\Sigma}^+ \); 4) π-+n→Ξ-+K++K-; 5) \( \tilde{p}+p \rightarrow\tilde{E}^0+\tilde{K}^0+\pi \);
Решение: |
|
---|---|
Гипероны рождаются в паре или большими группами с K - мезонами или с другими гиперонами при столкновениях π мезонов и нуклонов, или нуклонов с нуклонами. Они рождаются в процессах сильного взаимодействия, а распадаются за счет слабых взаимодействий. По этой причине они были называны странными частицами, и для количественного описания их поведения было введено новое квантовое число S - странность. В сильных взаимодействиях S сохраняется, а в слабых может меняться. Возможные значения странности: -3,-2,-1 для барионов, +1 для K - мезонов. Нуклоны, пионы и η мезоны лишены странности. Античастицы имеют противоположные по знаку странности.
1) π-+p→Λ+K0;
Квантовые числа |
Сумма квантовых чисел исходных частиц |
Сумма квантовых чисел конечных частиц |
Запрещена ли данная реакция |
S |
- |
-1+1=0 |
Не запрещена |
2) π-+p→K-+Σ+;
Квантовые числа |
Сумма квантовых чисел исходных частиц |
Сумма квантовых чисел конечных частиц |
Запрещена ли данная реакция |
S |
- |
-1-1=-2 |
Запрещена |
3) \( \tilde{p}+n \rightarrow\Lambda+\tilde{\Sigma}^+ \);
Квантовые числа |
Сумма квантовых чисел исходных частиц |
Сумма квантовых чисел конечных частиц |
Запрещена ли данная реакция |
S |
- |
-1+1=0 |
Не запрещена |
4) π-+n→Ξ-+K++K-;
Квантовые числа |
Сумма квантовых чисел исходных частиц |
Сумма квантовых чисел конечных частиц |
Запрещена ли данная реакция |
S |
- |
-2+1-1=-2 |
Запрещена |
5) \( \tilde{p}+p \rightarrow\tilde{E}^0+\tilde{K}^0+\pi \).
Квантовые числа |
Сумма квантовых чисел исходных частиц |
Сумма квантовых чисел конечных частиц |
Запрещена ли данная реакция |
S |
- |
+1-1=0 |
Не запрещена |
Заметим, что значения квантовых чисел частиц можно найти из таблицы элементарных частиц.
Задача №7.
Электрон и позитрон образованы в камере Вильсона фотоном энергией 6,00МэВ, радиус кривизны их траектории равен 3,5см. Какова индукция магнитного поля, в котором находится камера Вильсона?
Дано: Eγ=6,00эВ r=3,5см |
Решение: |
---|---|
Найти: B=? |
Рождение электронно-позитронных пар происходит при прохождении γ - квантов через вещество. Их рождение можно записать по схеме, приведенной в задаче 3 настоящего раздела:
γ+γ→e-+e+. |
(1) |
Из закона сохранения импульса в распаде (1) следует, что кинетическая энергия электрона равна
\( T_e=\frac{1}{2}(E_{\gamma}-2m_0c^2) \), |
(2) |
где m0 - масса покоя электрона.
В камере Вильсона, находящейся в однородном магнитном поле электромагнита, электрон и позитрон оставляют одинаковые, но противоположно направленные следы. Действительно, когда они начинают двигаться в магнитном поле, на них действует поле по закону Лоренца одинаково, но в противоположных направлениях. Радиус кривизны их траекторий равен
\( r=\left|\frac{m}{q}\right|\frac{v}{B} \), |
(3) |
где m,q,v - соответственно масса, заряд и скорость частицы (электрона или позитрона), B - индукция магнитного поля. Из формулы (3) имеем
\( B=\frac{mv}{er}=\frac{p}{er} \). |
(4) |
Применяя соотношения из релятивистской динамики, можно получить выражение для импульса (смотри формулу (7) задачи 4):
\( p=\frac{1}{c}\sqrt{T_e(T_e+2m_0c^2)} \). |
(5) |
Поставляя (5) в (4), получим выражение для индукции магнитного поля, в котором была помещена камера Вильсона
\( B=\frac{1}{ecr}\sqrt{T_e(T_e+2m_0c^2)} \). |
(6) |
Табличные данные: e=1,602·10-19Кл, E0=0,511МэВ, c=2,998с/м.
Расчеты:
\( T_e=\frac{1}{2}(6,00-1,02)=2,49 \)МэВ, \( B=\frac{1,6\cdot10^{-13}\sqrt{2,49(2,49+1,02)}}{1,602\cdot10^{-19}\cdot2,998\cdot10^8\cdot3,5\cdot10^{-2}}=0,28 \)Тл. |
|
Задача №8.
Оценить радиус дуантов циклотрона, если он предназначен для ускорения протонов до кинетической энергии 5МэВ, а индукция магнитного поля в нем равна 1Тл.
Дано: B=1 Тл Tmax=5МэВ |
Решение: |
---|---|
Найти: R=? |
Радиус R дуантов должен соответствовать условию
R>rmax, |
(1) |
где rmax - радиус орбиты, на которой протон достигнет предельного значения Tmax кинетической энергии, рассчитанной для данного ускорителя. В дуанте частица движется по полуокружности радиуса
\( r=\left|\frac{m}{q}\right|\frac{v}{B} \). |
(2) |
Здесь m,q - соответвенно массы и заряд частицы, в данном случае протона, B - индукция магнитного поля в циклотроне, v - скорость частицы на орбите. Энергия ускоренных протонов не велика по сравнению с энергией покоя, поэтому для определения их скорости можно воспользоваться формулой
\( v=\sqrt{2mT} \). |
(3) |
Следовательно, условие (1) можем записать в следующем виде:
\( R>\frac{\sqrt{2mT_{max}}}{eB} \). |
(4) |
В формуле (4) учтено, что для протона q=e>0, где e - элементарный заряд.
Табличные данные: m=1,6726·10-27кг.
Расчеты:
\( R>\frac{\sqrt{2\cdot1,6726\cdot10^{-27}\cdot8\cdot10^{-13}}}{1,602\cdot10^{-19}\cdot1}=0,323 \)м. |
|
Задача №9.
Синхрофазотрон сообщает протонам кинетическую энергию 10ГэВ. Во сколько раз релятивистская масса протона больше его массы покоя?
Дано: T=10ГэВ |
Решение: |
---|---|
Найти: η=mрел/m0 - ? |
Наиболее мощный ускоритель - синхрофазотрон предназначен для ускорения тяжелых частиц до скоростей, соизмеримых со скоростью света в вакууме. Поэтому кинетическая энергия ускоренных им частиц определяется релятивистской формулой
T=mрелc2-m0c2. |
(1) |
Обе части равенства (1) делим на m0c2 и получим искомое выражение
\( \eta=\frac{T_p}{E_{0p}}+1 \), |
(2) |
где E0p=m0c2 - энергия покоя протона.
Табличные данные: E0p=938,28МэВ.
Расчеты:
\( \eta=\frac{10000}{938,28}+1=11,6 \)раза. |
|
Задача №10.
В магнитном поле циклотрона под действием разности потенциалов между дуантами происходит движение протонов. Сколько оборотов они должны сделать, чтобы их масса возросла на 5% по сравнению с массой покоящихся протонов? Между дуантами протоны проходят всегда при максимальной разности потенциалов, равной 30кВ.
Дано: U0=30кВ ΔE=0,05E0 |
Решение: |
---|---|
Найти: n=? |
Электрическое поле циклотрона, в котором ускоряются частицы, локализовано в зазоре между дуантами. Частица дважды пролетает через зазор, когда она совершает один полный оборот в циклотроне. Поэтому число n полных оборотов дважды меньше числа N пролетов через этот зазор. Следовательно, имеем
2n=N. |
(1) |
Кинетическая энергия, которую частица приобретает после N пролетов через зазор между дуантами, равна
T=NqU0, |
(2) |
где qU0 - энергия, приобретаемая частицей в электрическом поле с напряжением U0, q - абсолютная величина её заряда. Здесь мы учли, что напряжение поля во время пролета частицы всегда имеет одно и то же значение.
Кинетическая энергия, которую приобрела частица после n оборотов, равна
T=mc2-m0c2=ΔE, |
(3) |
m0 - масса покоя частицы, m - так называемая релятивисткая масса частицы после разгона в циклотроне. Из формул (1), (2) и (3) находим формулу для расчета полных оборотов протона
\( n=\frac{\Delta{E}}{2eU_0}=\frac{0,005E_{0p}}{2eU_0} \), |
(4) |
где e - элементарный заряд.
Табличные данные: E0p=938,28МэВ, e=1,602·10-19Кл.
Расчеты:
\( n=\frac{0,05\cdot938,28\cdot1,6\cdot10^{-13}}{2\cdot1,602\cdot10^{-19}\cdot3\cdot10^4}=781 \)оборота. |
|