9. Элементарные частицы

Примеры решения задач

Задача №1.

Электрон прошел разность потенциалов и приобрел кинетическую энергию 0,76МэВ. Определить скорость электрона.

Задача №2.

Какое количество энергии выделится при аннигиляции электрона и позитрона, если энергия покоя электрона равна 0,511МэВ?

Задача №3.

Процесс возникновения пары электрон-позитрон происходит по следующей схеме:

γ+γ→e^-+e⁺.

Найти, какой скоростью будут обладать возникшие частицы, если энергия фотона E=3,02МэВ.

Задача №4.

Покоящийся пион распадается на мюон и нейтрино

π⁺→μ⁺+v_μ.

Найти отношение энергии нейтрино и кинетической энергии мюона.

Задача №5.

Выяснить с помощью законов сохранения лептонного и барионного зарядов, возможны ли процессы:

1) n→p+e^-+v_e; 2) \( \tilde{\nu}_{\mu}+p \rightarrow{n}+\mu^+ \); 3) \( \mu^+ \rightarrow{e}^++\tilde{\nu}_e+\nu_{\mu} \); 4) π^-+n→K^-+K⁰; 5) K^-+p→Σ⁺+π^-.

Задача №6.

Какие из приведенных ниже реакций запрещены законом сохранения странности:

1) π^-+p→Λ+K⁰; 2) π^-+p→K^-+Σ⁺; 3) \( \tilde{p}+n \rightarrow\Lambda+\tilde{\Sigma}^+ \); 4) π^-+n→Ξ^-+K⁺+K^-; 5) \( \tilde{p}+p \rightarrow{\tilde{E}}^0+{\tilde{K}}^0+\pi \);

Задача №7.

Электрон и позитрон образованы в камере Вильсона фотоном энергией 6,00МэВ, радиус кривизны их траектории равен 3,5см. Какова индукция магнитного поля, в котором находится камера Вильсона?

Задача №8.

Оценить радиус дуантов циклотрона, если он предназначен для ускорения протонов до кинетической энергии 5МэВ, а индукция магнитного поля в нем равна 1Тл.

Задача №9.

Синхрофазотрон сообщает протонам кинетическую энергию 10ГэВ. Во сколько раз релятивистская масса протона больше его массы покоя?

Задача №10.

В магнитном поле циклотрона под действием разности потенциалов между дуантами происходит движение протонов. Сколько оборотов они должны сделать, чтобы их масса возросла на 5% по сравнению с массой покоящихся протонов? Между дуантами протоны проходят всегда при максимальной разности потенциалов, равной 30кВ.

Задача №1.

Электрон прошел разность потенциалов и приобрел кинетическую энергию 0,76МэВ. Определить скорость электрона.

Дано: E_γ=0,76МэВ	Решение:
Найти: v=?

Дано:

E_γ=0,76МэВ

Решение:

Найти:

v=?

По условию задачи электрон в электрическом поле приобрел энергию, большую, чем его энергия покоя (0,511МэВ). Следовательно, он движется со скоростью, сравнимой со скорость света в вакууме. Такую скорость необходимо определить, исходя из релятивистской формулы для кинетической энергии

\( T=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\beta^2}}-m_0c^2=m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}-1\right) \).

(1)

где m₀ - масса покоя частицы (электрона), β=v/c, v - скорость частицы. Преобразуя формулу (1), находим выражение для величины β². Оно имеет вид

\( \beta^2=1-{\left(\frac{m_0c^2}{T+m_0c^2}\right)}^2 \).

(2)

Из формулы (2) следует, что

\( v=c\sqrt{1-{\left(\frac{m_0c^2}{T+m_0c^2}\right)}^2} \).

(3)

Расчет:

\( v=2,988\cdot10^8\sqrt{1-{\left(\frac{0,511}{1,271}\right)}^2}=2,7358\cdot10^8 \)м/с.

Задача №2.

Какое количество энергии выделится при аннигиляции электрона и позитрона, если энергия покоя электрона равна 0,511МэВ?

Дано: E_e=0,511МэВ	Решение:
Найти: Q=?

Дано:

E_e=0,511МэВ

Решение:

Найти:

Q=?

При столкновении электрон и позитрон «исчезают», превращаясь в электромагнитное излучение. В большинстве случаев они превращаются в два γ - кванта, разлетающиеся в противоположные стороны. Реакция исчезновения (или аннигиляции) частиц имеет вид

e^-+e⁺→γ+γ.

(1)

Энергетический эффект данной реакции равен

Q=[(m_e^-+m_e⁺)-2m_γ]·931,5=2E_e=1,02МэВ.

(2)

Здесь учтено, что у квантов нет массы покоя, а массы электрона и позитрона равны.

Задача №3.

Процесс возникновения пары электрон-позитрон происходит по следующей схеме:

γ+γ→e^-+e⁺.

Найти, какой скоростью будут обладать возникшие частицы, если энергия фотона E=3,02МэВ.

Дано: E_γ=3,02МэВ	Решение:
Найти: v=?

Дано:

E_γ=3,02МэВ

Решение:

Найти:

v=?

Существует процесс образования электронно-позитронных пар, обратный аннигиляции. Гамма - частица может породить пару электрон - позитрон

γ→e^-+e⁺.

(1)

только в присутствии некоторой третьей частицы, иначе будет нарушен закон сохранения импульса. Это отражено в условии задачи, где третьей частицей в данном процессе является второй γ-квант. В процессе первый квант исчезнет, и его энергия будет распределено между вторым квантом, электроном и позитроном:

E_γ=2(T_e+m₀c²).

(2)

Здесь учтено, что массы электрона и позитрона одинаковы. Из формулы (2) находим выражение для кинетической энергии электрона (или позитрона)

\( T_e=\frac{E_{\gamma}-2m_0c^2}{2} \).

(3)

Для той же величины T_e имеем релятивистское выражение

\( T_e=m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-{\beta}^2}}-1\right) \).

(4)

Приравняв (3) и (4), после некоторых преобразований получим

\( \beta^2=1-\left(\frac{2m_0c^2}{E_{\gamma}}\right)^2 \).

(5)

Отсюда следует, что

\( v=c\sqrt{1-\left(\frac{2m_0c^2}{E_{\gamma}}\right)^2} \).

(6)

Расчет:

\( v=2,998\cdot10^8\sqrt{1-\left(\frac{2\cdot0,511}{3,02}\right)^2}=2,82\cdot10^8 \)м/c.

Задача №4.

Покоящийся пион распадается на мюон и нейтрино

π⁺→μ⁺+v_μ.

Найти отношение энергии нейтрино и кинетической энергии мюона.

Дано: π⁺→μ⁺+v_μ	Решение:
Найти: \( \eta=\frac{E_{\nu}}{T_{\mu}} \)=?

Дано:

π⁺→μ⁺+v_μ

Решение:

Найти:

\( \eta=\frac{E_{\nu}}{T_{\mu}} \)=?

Энергию нейтрино можно найти из закона сохранения

E_v=T_μ-Q.

(1)

Энергетический эффект распада равен

Q=(m_π-m_μ)c²,

(2)

где c - скорость света в вакууме. Нейтрино не имеет массы, и для него справедлива релятивистская формула, связывающая энергию и импульс безмассовой частицы

E_v=p_vc,

(3)

где p_v - импульс нейтрино. Из закона сохранения импульса следует, что

p_v=p_μ,

(4)

где p_μ - импульс мюона. Если найдем выражение для импульса p_μ и поставим его в (3), то найдем новое выражение для энергии E_v нейтрино. Для этого необходимо воспользоваться релятистскими выражениями для энергии частицы. Полная энергия мюона, который имеет массу E_0μ покоя, равна

E_μ=T_μ+E_0μ.

(5)

Общая релятивистская формула, связывающая энергию и импульс частицы с массой покоя, примет вид

\( E^2_{\mu}=p^2_{\mu}c^2+E^2_{0\mu} \).

(6)

Из системы уравнений (5) - (6) находим выражение для импульса мюона

\( p_{\mu}=\frac{1}{c}\sqrt{T_{\mu}(T_{\mu}+2E_{0\mu})} \).

(7)

Поставив (7) в (3), запишем равенство

\( Q-T_{\mu}=\sqrt{T_{\mu}(T_{\mu}+2E_{0\mu})} \).

(8)

Решая радикальное уравнение (8), находим выражение для кинетической энергии мюона

\( T_{\mu}=\frac{Q^2}{2(Q+E_{0\mu})} \).

(9)

Табличные данные: E_0π=140МэВ, E_0μ=106МэВ.

Расчеты:

Q=140-106=34МэВ, \( T_{mu}=\frac{34\cdot34}{2(34+106)}=4,1 \)МэВ, E_v=34-4,1=29,9МэВ,
η=29,9/4,1=7,3.

Задача №5.

Выяснить с помощью законов сохранения лептонного и барионного зарядов, возможны ли процессы:

1) n→p+e^-+v_e; 2) \( \tilde{\nu}_{\mu}+p \rightarrow{n}+\mu^+ \); 3) \( \mu^+ \rightarrow{e}^++\tilde{\nu}_e+\nu_{\mu} \); 4) π^-+n→K^-+K⁰; 5) K^-+p→Σ⁺+π^-.

	Решение:
	Решение:

К лептонам относятся электрон \( (e^{\mp}) \), мюон \( (\mu^{\mp}) \), тау-лептон \( (\tau^{\mp}) \), электронное, мюонное и τ - нейтрино. Кроме того, всем нейтрино соответствуют антинейтрино. Лептоны имеют лептонный заряд L, равный единице, для антилептонов L=-1. Для всех частиц, которые не относятся к лептонам, лептонный заряд равен нулю. Различают три вида лептонных зарядов: электронный L_e, мюонный L_μ и таонный L_τ заряды.

К барионам относятся протон \( (p,\tilde{p}) \), нейтрон \( (n,\tilde{n}) \) и все гипероны: Λ-,Σ-,Ξ-Ω-гипероны. Для всех барионов присваивается барионный заряд, равный единице, для антибарионов B=-1. Для всех частиц, которые не относятся к барионам, барионный заряд равен нулю. Барионный заряд для всех барионов один.

Во всех процессах должно наблюдаться сохранение суммы отдельного вида лептонных чисел и сумма барионных чисел.

1) n→p+e^-+v_e;

Квантовые числа	Сумма квантовых чисел исходных частиц	Сумма квантовых чисел конечных частиц	Запрещена ли данная реакция
L_e	-	1+1=2	Запрещена нарушено равенство \( \sum{L_e}=\sum{L'_e} \)
L_μ	-	-
L_τ	-	-
B	1	1

2) \( \tilde{\nu}_{\mu}+p \rightarrow{n}+\mu^+ \);

Квантовые числа	Сумма квантовых чисел исходных частиц	Сумма квантовых чисел конечных частиц	Запрещена ли данная реакция
L_e	-	-	Не запрещена
L_μ	1	1
L_τ	-	-
B	1	1

3) \( \mu^+ \rightarrow{e}^++\tilde{\nu}_e+\nu_{\mu} \);

Квантовые числа	Сумма квантовых чисел исходных частиц	Сумма квантовых чисел конечных частиц	Запрещена ли данная реакция
L_e	-	1+1=2	Запрещена нарушено равенство \( \sum{L_e}=\sum{L'_e} \)
L_μ	1	1
L_τ	-	-
B	1	1

4) π^-+n→K^-+K⁰;

Квантовые числа	Сумма квантовых чисел исходных частиц	Сумма квантовых чисел конечных частиц	Запрещена ли данная реакция
L_e	-	-	Запрещена не сохранилось барионное число
L_μ	-	-
L_τ	-	-
B	1	-

5) K^-+p→Σ⁺+π^-.

Квантовые числа	Сумма квантовых чисел исходных частиц	Сумма квантовых чисел конечных частиц	Запрещена ли данная реакция
L_e	-	-	Не запрещена
L_μ	-	-
L_τ	-	-
B	1	1

Задача №6.

Какие из приведенных ниже реакций запрещены законом сохранения странности:

1) π^-+p→Λ+K⁰; 2) π^-+p→K^-+Σ⁺; 3) \( \tilde{p}+n \rightarrow\Lambda+\tilde{\Sigma}^+ \); 4) π^-+n→Ξ^-+K⁺+K^-; 5) \( \tilde{p}+p \rightarrow\tilde{E}^0+\tilde{K}^0+\pi \);

	Решение:
	Решение:

Гипероны рождаются в паре или большими группами с K - мезонами или с другими гиперонами при столкновениях π мезонов и нуклонов, или нуклонов с нуклонами. Они рождаются в процессах сильного взаимодействия, а распадаются за счет слабых взаимодействий. По этой причине они были называны странными частицами, и для количественного описания их поведения было введено новое квантовое число S - странность. В сильных взаимодействиях S сохраняется, а в слабых может меняться. Возможные значения странности: -3,-2,-1 для барионов, +1 для K - мезонов. Нуклоны, пионы и η мезоны лишены странности. Античастицы имеют противоположные по знаку странности.

1) π^-+p→Λ+K⁰;

Квантовые числа	Сумма квантовых чисел исходных частиц	Сумма квантовых чисел конечных частиц	Запрещена ли данная реакция
S	-	-1+1=0	Не запрещена

2) π^-+p→K^-+Σ⁺;

Квантовые числа	Сумма квантовых чисел исходных частиц	Сумма квантовых чисел конечных частиц	Запрещена ли данная реакция
S	-	-1-1=-2	Запрещена

3) \( \tilde{p}+n \rightarrow\Lambda+\tilde{\Sigma}^+ \);

Квантовые числа	Сумма квантовых чисел исходных частиц	Сумма квантовых чисел конечных частиц	Запрещена ли данная реакция
S	-	-1+1=0	Не запрещена

4) π^-+n→Ξ^-+K⁺+K^-;

Квантовые числа	Сумма квантовых чисел исходных частиц	Сумма квантовых чисел конечных частиц	Запрещена ли данная реакция
S	-	-2+1-1=-2	Запрещена

5) \( \tilde{p}+p \rightarrow\tilde{E}^0+\tilde{K}^0+\pi \).

Квантовые числа	Сумма квантовых чисел исходных частиц	Сумма квантовых чисел конечных частиц	Запрещена ли данная реакция
S	-	+1-1=0	Не запрещена

Заметим, что значения квантовых чисел частиц можно найти из таблицы элементарных частиц.

Задача №7.

Электрон и позитрон образованы в камере Вильсона фотоном энергией 6,00МэВ, радиус кривизны их траектории равен 3,5см. Какова индукция магнитного поля, в котором находится камера Вильсона?

Дано: E_γ=6,00эВ r=3,5см	Решение:
Найти: B=?

Дано:

E_γ=6,00эВ

r=3,5см

Решение:

Найти:

B=?

Рождение электронно-позитронных пар происходит при прохождении γ - квантов через вещество. Их рождение можно записать по схеме, приведенной в задаче 3 настоящего раздела:

γ+γ→e^-+e⁺.

(1)

Из закона сохранения импульса в распаде (1) следует, что кинетическая энергия электрона равна

\( T_e=\frac{1}{2}(E_{\gamma}-2m_0c^2) \),

(2)

где m₀ - масса покоя электрона.

В камере Вильсона, находящейся в однородном магнитном поле электромагнита, электрон и позитрон оставляют одинаковые, но противоположно направленные следы. Действительно, когда они начинают двигаться в магнитном поле, на них действует поле по закону Лоренца одинаково, но в противоположных направлениях. Радиус кривизны их траекторий равен

\( r=\left|\frac{m}{q}\right|\frac{v}{B} \),

(3)

где m,q,v - соответственно масса, заряд и скорость частицы (электрона или позитрона), B - индукция магнитного поля. Из формулы (3) имеем

\( B=\frac{mv}{er}=\frac{p}{er} \).

(4)

Применяя соотношения из релятивистской динамики, можно получить выражение для импульса (смотри формулу (7) задачи 4):

\( p=\frac{1}{c}\sqrt{T_e(T_e+2m_0c^2)} \).

(5)

Поставляя (5) в (4), получим выражение для индукции магнитного поля, в котором была помещена камера Вильсона

\( B=\frac{1}{ecr}\sqrt{T_e(T_e+2m_0c^2)} \).

(6)

Табличные данные: e=1,602·10^-19Кл, E₀=0,511МэВ, c=2,998с/м.

Расчеты:

\( T_e=\frac{1}{2}(6,00-1,02)=2,49 \)МэВ, \( B=\frac{1,6\cdot10^{-13}\sqrt{2,49(2,49+1,02)}}{1,602\cdot10^{-19}\cdot2,998\cdot10^8\cdot3,5\cdot10^{-2}}=0,28 \)Тл.

Задача №8.

Оценить радиус дуантов циклотрона, если он предназначен для ускорения протонов до кинетической энергии 5МэВ, а индукция магнитного поля в нем равна 1Тл.

Дано:

B=1 Тл

T_max=5МэВ

Решение:

Найти:

R=?

Радиус R дуантов должен соответствовать условию

R>r_max,

(1)

где r_max - радиус орбиты, на которой протон достигнет предельного значения T_max кинетической энергии, рассчитанной для данного ускорителя. В дуанте частица движется по полуокружности радиуса

\( r=\left|\frac{m}{q}\right|\frac{v}{B} \).

(2)

Здесь m,q - соответвенно массы и заряд частицы, в данном случае протона, B - индукция магнитного поля в циклотроне, v - скорость частицы на орбите. Энергия ускоренных протонов не велика по сравнению с энергией покоя, поэтому для определения их скорости можно воспользоваться формулой

\( v=\sqrt{2mT} \).

(3)

Следовательно, условие (1) можем записать в следующем виде:

\( R>\frac{\sqrt{2mT_{max}}}{eB} \).

(4)

В формуле (4) учтено, что для протона q=e>0, где e - элементарный заряд.

Табличные данные: m=1,6726·10^-27кг.

Расчеты:

\( R>\frac{\sqrt{2\cdot1,6726\cdot10^{-27}\cdot8\cdot10^{-13}}}{1,602\cdot10^{-19}\cdot1}=0,323 \)м.

Задача №9.

Синхрофазотрон сообщает протонам кинетическую энергию 10ГэВ. Во сколько раз релятивистская масса протона больше его массы покоя?

Дано:

T=10ГэВ

Решение:

Найти:

η=m_рел/m₀ - ?

Наиболее мощный ускоритель - синхрофазотрон предназначен для ускорения тяжелых частиц до скоростей, соизмеримых со скоростью света в вакууме. Поэтому кинетическая энергия ускоренных им частиц определяется релятивистской формулой

T=m_релc²-m₀c².

(1)

Обе части равенства (1) делим на m₀c² и получим искомое выражение

\( \eta=\frac{T_p}{E_{0p}}+1 \),

(2)

где E_0p=m₀c² - энергия покоя протона.

Табличные данные: E_0p=938,28МэВ.

Расчеты:

\( \eta=\frac{10000}{938,28}+1=11,6 \)раза.

Задача №10.

В магнитном поле циклотрона под действием разности потенциалов между дуантами происходит движение протонов. Сколько оборотов они должны сделать, чтобы их масса возросла на 5% по сравнению с массой покоящихся протонов? Между дуантами протоны проходят всегда при максимальной разности потенциалов, равной 30кВ.

Дано:

U₀=30кВ

ΔE=0,05E₀

Решение:

Найти:

n=?

Электрическое поле циклотрона, в котором ускоряются частицы, локализовано в зазоре между дуантами. Частица дважды пролетает через зазор, когда она совершает один полный оборот в циклотроне. Поэтому число n полных оборотов дважды меньше числа N пролетов через этот зазор. Следовательно, имеем

2n=N.

(1)

Кинетическая энергия, которую частица приобретает после N пролетов через зазор между дуантами, равна

T=NqU₀,

(2)

где qU₀ - энергия, приобретаемая частицей в электрическом поле с напряжением U₀, q - абсолютная величина её заряда. Здесь мы учли, что напряжение поля во время пролета частицы всегда имеет одно и то же значение.

Кинетическая энергия, которую приобрела частица после n оборотов, равна

T=mc²-m₀c²=ΔE,

(3)

m₀ - масса покоя частицы, m - так называемая релятивисткая масса частицы после разгона в циклотроне. Из формул (1), (2) и (3) находим формулу для расчета полных оборотов протона

\( n=\frac{\Delta{E}}{2eU_0}=\frac{0,005E_{0p}}{2eU_0} \),

(4)

где e - элементарный заряд.

Табличные данные: E_0p=938,28МэВ, e=1,602·10^-19Кл.

Расчеты:

\( n=\frac{0,05\cdot938,28\cdot1,6\cdot10^{-13}}{2\cdot1,602\cdot10^{-19}\cdot3\cdot10^4}=781 \)оборота.

Сайт:	Система электронного и дистанционного обучения СВФУ
Курс:	Физика атома и ядра. Слепцов И.А., Слепцов А.А.
Книга:	9. Элементарные частицы
Напечатано::	Гость
Дата:	Sunday, 25 August 2024, 20:20

9. Элементарные частицы

Оглавление

Примеры решения задач

Задача №1.

Задача №2.

Задача №3.

Задача №4.

Задача №5.

Задача №6.

Задача №7.

Задача №8.

Задача №9.

Задача №10.

Задача №1.

Задача №2.

Задача №3.

Задача №4.

Задача №5.

Задача №6.

Задача №7.

Задача №8.

Задача №9.

Задача №10.