Физика атома и ядра (курс лекций)

Понятие спектра, его квалификация.

Спектр - это электромагнитное излучение, разделенное каким-либо способом так, что по каждому направлению распространяется монохроматическая волна, имеющая определенную частоту и длину.

Частота характеризует скорость повторяемости колебательного движения. Частоту измеряют количеством полных колебаний за единицу времени

где T - время, в течение которого тело совершает одно полное колебание, называется периодом колебания.

Распространение колебаний в среде называют волновым процессом. Оно характеризуется величиной, которую называют длиной волны. Понятие длины волны характеризует перемещение волновой поверхности за один период в зависимости от рода среды и частоты колебаний. Длиной волны называется расстояние между ближайшими точками на одном направлении, которые колеблется в одинаковой фазе и определяется формулой

Изображение спектра электромагнитного излучения, проходящего через щель, на плоскости (экране, фотопластинке) также называется спектром. В зависимости от изображения на плоскости спектры бывают линейчатые, полосатые и сплошные. Линейчатые спектры состоят из узких линий различных цветов, разделенных темными промежутками (в цветном изображении). Полосатые спектры состоят из ряда светлых полос, разделенных темными промежутками. Примером сплошного спектра является спектр белого света, в котором каждый цвет плавно переходит в другой без темных промежутков.

Спектр подразделяется на три области: инфракрасную, видимую и ультрафиолетовую. Они относятся различным диапазонам частот (или длин волн).

Спектры отличают способами их получения. Нагревая тела, их можно заставить испускать лучи, относящихся к различным областям излучения в зависимости от температуры нагрева. Спектры, полученные нагревом тел, называются спектрами испускания. Они бывают сплошными, линейчатыми и полосатыми. Есть другой способ получения спектра. Пропускают пары газов твердого тела через прозрачные тела. При этом прозрачное тело поглощает часть проходящего через него излучения, спектр, полученный таким способом, называется спектром поглощения. Спектры поглощения могут быть линейчатыми или полосатыми.

Спектры различают по роду их источников. Поэтому спектры бывают атомными, молекулярными, а также бывают спектры газов твердых тел. Атомные спектры являются дискретными спектрами, молекулярные спектры полосатыми, а спектры нагретых твердых тел сплошными.

Приборы для получения и исследования спектров называются спектральными приборами. Для визуального наблюдения спектром используются спектроскопами, для фотографирования - спектрографами. Основным элементом таких устройств является диспергирующая среда в виде трехгранных призм или дифракционных решеток.

Спектр атома водорода.

В видимой области спектральные линии атомного водорода в своей последовательности обнаруживает простые закономерности. Она выражена эмпирической формулой Бальмера

Из формулы (3) и экспериментальных наблюдений вытекает, что линии серии сгущаются по мере продвижению к концу серии, интенсивность линий серии уменьшаются также по мере продвижению к концу серии. Первая линия серии называется головной. Поскольку в конце серии происходит наложение линий друг на друга, нельзя определить последнюю линию серии. Ее определяют как границу серии - линию с номером, равной бесконечности. Дальнейшие исследования показали, что формулу Бальмера можно представить в более симметричном виде

Здесь введена новая переменная, так называемое спектроскопическое волновое число

Формула, введенная Бальмером для видимой области спектра, оказалась полезной для вычисления и в других областях спектра. Можно формулу (4) переписать следующим образом

Обычно квантовое число m называют номером серии, а число n - номер линий в данной серии с номером m. Известны и исследования пять серий: m=1 (серия Лаймана), m=2 (серия Бальмера), m=3 (серия Пашена), m=4 (серия Пфунда), m=5 (серия Брэкета).

В еще более универсальном виде формула примет вид

Здесь T(m) или T(n) называются спектральными термами. Это и есть основной закон излучения атома, называется комбинационным принципом Ридберга-Ритца.

Согласно Бору комбинационный принцип является своеобразным выражением квантовых законов, управляющих внутриатомными процессами. Он раскрыл физических смысл спектральных термов. Применение формулы (7) и гипотезы Планка ΔE=ћν к квантовому переходу дает соотношение между спектральным термом и соответствующим уровнем энергии

Итак, каждому спектральному терму соответствует определенное значение энергии атома.

Боровская теория водородоподобного атома.

Модель атома Бора формулируется системой трех уравнений

Уравнение (11) называется условием квантования электронных орбит, условием выбора избранных орбит, по которым может двигаться электрон внутри атома. Переменная n принимает положительные целые числа, имеет смысл номера избранной орбиты и носит название квантового числа. Решая систему, находим радиус орбиты электрона, его скорость и энергию на этой орбите.

Исходя из них, получим величины теории атома Бора из комбинаций универсальных постоянных

Применяя полученные результаты к квантовому переходу, получим теоретическую формулу для расчета постоянной величины Ридберга

Учет движения ядра с массой M совместно с электроном с массой m вокруг собственной оси системы имеем

Модель излучающего электрона.

К атомам щелочных металлов относятся: литий(Li), натрий(Na), калий(K), рубидий(Rb), цезий(Cs), франций(Fr). Они имеют электрон, удаленный от ядра дальше всех электронов, слабосвязанный с ним.

Атом щелочных металлов имеет на один атом больше, чем у предыдущего атома инертного газа в таблице Менделеева. Этот электрон и слабо связан с ядром атома, и легко его оторвать от атома. Атомы инертных газов известны большой устойчивостью, а атомы щелочных металлов химически активны.

Другим замечательным моментов атом щелочных металлов является то, то в их спектрах наблюдаются серии, которые по внешнему виду в точности напоминают серии атома водорода.

Эти два обстоятельства - слабая связь внешнего электрона и «водородоподобность» спектров - позволяют построить следующий модель излучающего электрона: атом щелочного металла представляет собой систему, состоящую из атомного остова и одного внешнего электрона, который движется в электрическом поле остова. Атомный остов состоит из первых Z-1 внутренних электронов, и по своей структуре напоминает предыдущий атом инертного газа. Атомный остов есть наиболее устойчивая часть атома, слабо связанного внешним электроном. Внешний электрон отвечает за оптические и химические свойства атома в целом. Поэтому его называют излучающим или валентным.

Атомный остов более сложная структура, чем ядро атома водорода или любого другого водородоподобного иона с одним электроном. Поэтому электрическое поле такого остова нельзя считать полностью совпадающим с кулоновским полем точечного заряда. Следовательно, состояние внешнего электрона атомов щелочных металлов должно отличаться от состояний внешнего электрона внешнего электрона водородоподобных атомов. Имеется формула Ридберга, позволяющая приближенно вычислить термы атомов щелочных металлов:

Из формулы (15) видно, состояния атомов щелочных металлов определяются двумя квантовыми числами. Главным квантовым числом n, определяющим в основном энергию атома, и побочным квантовым числом l, от которого зависит поправка σ(l) Ридберга, намного меньшей единицы.

Электронные состояния.

Энергия электрона в водородоподобных атомах характеризуется главным квантовым числом, а в случае атомов щелочных металлов - еще и побочным числом. Эти числами можно идентифицировать электронные состояния в атомах вообще. Главное квантовое число принимает значения

При фиксированном значении главного квантового числа побочное число принимает значения

Вводится понятие основного состояния электрона. Это такое состояние, в котором электрон имеет наименьшую энергию. В случае атома водорода таким будет состояние, характеризуемое числом n=1. А основное состояние электрона в атоме щелочных металлов, естественно, будет характеризоваться числами n=1 и l=0. При значениях n>1, атомы находятся в возбужденных состояниях. Возбужденные состояния могут отличаться побочными числами, которые еще называются орбитальными. Таким образом, электронное состояние идентифицируется двумя переменными n,l, и состояние обозначается символом nl. Говорят, электрон находится в nl-состоянии или просто nl-электрон. При фиксированном значении главного квантового числа различают электронные состояния по орбитальному числу и вводят специальные обозначения для этих состояний. Приведем некоторые часто встречаемые в теории атома электронные состояния:

Квантовые переходы между электронными состояниями.

Электронные состояния и квантовые переходы между ними можно представить в виде диаграммы уровней и переходов. Определенные значения энергии электрона или атома изображаются горизонтальными линиями, расположенными в виде уровней. Отсюда другое название определенных значений энергии - уровни. Поскольку определенному состоянию электрона соответствует определенный уровень, то квантовые переходы можно изображать как переходы между уровнями (Рис.1). Каждой спектральной линии соответствует пара уровней: верхний уровень и нижний. Спектральные линии, принадлежащие к одной и той же серии, имеют общий нижний уровень. Существует правила отбора (или запрета). Согласно этим правилам возможны переходы, при которых орбитальные квантовые числа изменяются на единицу: Δl=1. Главные квантовые числа могут меняться на любое число. Серии спектров щелочных металлов имеют символические обозначения: \( \widetilde{v} \)=нижний уровень←верхний уровень. Для каждого металла свой символ нижнего уровня, отличающийся значением главного квантового числа. Для лития нижний уровень -2s, для натрия -3s и так далее. Укажем сериальные символы для лития:

рис. 1

Кроме того, все серии щелочных металлов имеют легко доступную для наблюдения тонкую структуру, где каждая линия серии расщепляется на две или более компоненты. Для наблюдения простыми спектральными приборами, как правило, тонкая структура спектра щелочных металлов имеет дублетный характер.

Микрочастицы.

Микрочастицами называют элементарные частицы, а также сложные частицы, образованные из сравнительно небольшого числа элементарных частиц. К элементарным частицам относят электроны, протоны, нейтроны, фотоны и другие частицы, обнаруженные при ядерных исследованиях. К сложным микрочастицам относят молекулы, атомы, атомные ядра и ряд других образований.

Микрочастица является чисто квантовой частицей, то есть движение такой частицы подчиняется квантовым законам. Она представляет собой образование особого рода, которая обладает в единой связи корпускулярно-волновыми свойствами. Отличие микрочастицы от классической частицы заключается в том, что она не обладает одновременно определенными значениями координат и импульса, то есть понятие траектории теряет своего физического смысла. В то же время микрочастицы всегда обнаруживается как целое, с присущей ему массой, зарядом и другими характерными для него величинами.

Гипотезы де Бройля.

Де Бройль предположил, что материальные частицы должны обладать такими же двойственными свойствами, как частицы световой волны - фотоны. Он приписал микрочастице энергию, равную

Здесь ν или ω являются частотами того волнового процесса, который сопоставляется движению частицы. Смысл гипотезы заключается в том, что микрочастица обладает свойствами, которые одновременно характеризуются и механическими, и волновыми величинами. Исходя из релятивистского выражения для энергии частицы, де Бройль предложил еще одно соотношение

где p, λ - импульс частицы и длина волны соответствующего волнового процесса, h - постоянная величина, введенная Планком в теории теплового излучения. Волна де Бройля отвечает тем же законам для фазовых и групповых скоростей волны, что имеется в классической волновой теории. Для нее можно получить соответствующие законы дисперсии в релятивистской и нерелятивистской форме. Закон дисперсии устанавливает связь между частотой ω волны и составляющими волнового вектора k_x,k_y,k_z. Для этого достаточно переписать релятивистский закон связи между энергией частицы и ее импульсов в терминах гипотезы де Бройля. Квадрат полной энергии релятивисткой частицы равен

Используя соотношения (1) и (2), нетрудно получить закон дисперсии

Для фотона - частицы световой волны этот закон запишется следующим образом:

Здесь учтено что, для фотона E₀=0. С другой стороны, формула (4а) следует из волнового уравнения, решением которого служит формула плоской волны

Де Бройль предложил описать движение свободной материальной частицы этой же формулой, поэтому она носит название волны де Бройля. Де Бройль также переписал условие квантования орбиты в новом виде

где r - радиус орбиты электрона в атоме Бора.

Принцип неопределенности.

Рассмотрим следующую ситуацию. Поток микрочастиц летит по некоторому определенному направлению, например, по оси Oy. На пути потока поставим непроницаемую тяжелую диафрагму со щелью, ширина которой равна Δx. До момента прохождения щели некоторая микрочастица из потока будет иметь неопределенную координату по оси Ox. Поэтому неопределенность координаты по данной оси будет равна бесконечности Δx=∞. Зато составляющая импульса по этой оси равна нулю, поскольку частицы летит прямо по направлению оси Oy. Следовательно, неопределенность Δp_x=0. В момент прохождения щели микрочастица будет испытать дифракции и отклонится от первоначального направления движения, в результате появится составляющая импульса Δp_x по оси Ox. Неопределенность составляющей импульса будет равна самой этой величине Δp_x=Δp_x.

рис. 2

Геометрия рисунка (рис. 2) дает

Здесь учтено, что φ - малая величина. Если угол φ=φ₁ определяет направление первого минимума интенсивности, то имеем

Совместно решая уравнения (7) и (8), получим

Используя соотношения де Бройля между импульсом частицы и соответствующей ее движению длины волны, имеем

При произвольном дифракционном угле φ≥φ₁ равенство (4) нужно записать в виде нестрогого равенства. Поскольку полученное равенство дает оценку лишь по порядку величины, окончательно, искомое соотношение будет иметь вид

Формула (11) называется соотношением неопределенностей двух сопряженных величин p_x и x, соотношением Гайзенберга. Таким образом, произведение неопределенностей двух сопряженных величин по величине порядка не может быть меньше, чем постоянная величина Планка-Дирака. Это утверждение называется принципом Гайзенберга. Формулу можно получить и для двух других координат и соответствующих им составляющих импульса:

Соотношения (11) и (12) выражают принцип неопределенности Гайзенберга: в природе не существуют такие состояния микрообъектов, в которых одновременно можно определить и координату, и соответствующую ей составляющую импульса. Принцип определяет допустимый предел неточностей, с которыми можно характеризовать состояния микрочастицы классически, то есть координатой и соответствующей составляющей импульса. Имеет место еще одно соотношение неопределенностей

Соотношение означает, что нельзя точно определить значение энергии за бесконечно малый промежуток времени. Определение энергии с точностью ΔE должно занять некоторый интервал времени, равный, по меньшей мере, Δt∼ћ/ΔE.

Естественная ширина спектральных линий.

Согласно формуле (13) каждый уровень энергии характеризуется интервалом ΔE_n - шириной уровня. Каждый квантовый переход характеризуется разностью интервалов ΔE_nm двух уровней, между которыми происходит переход. Это разность интервалов называется шириной спектральной линии. Если излучающая система покоится, то ширина линии называется естественной.

Поскольку неопределенность энергии связана с временем жизни состояния соотношением

то ширина спектральных линий равна

Стационарное уравнение Шрёдингера.

Имеется два вида уравнения Шрёдингера: временное и стационарное. Временное уравнение имеет вид

Решение уравнения Ψ=Ψ(x,y,z,t) носит название волновой функции. Частным случаем общего, или временного, уравнения является стационарное уравнение

где ψ=ψ(x,y,z). Стационарное уравнение содержит параметр E=const, при фиксированном значении энергии в данный момент времени ищется функция ψ=ψ(x,y,z). Таким образом, уравнение (2) описывает стационарное состояние микрообъекта, которое и в последующие моменты времени остается неизменным. Его решение имеет вид

Волновая функция Ψ должна удовлетворять стандартным требованиям непрерывности, конечности и однозначности. Только при выполнении этих математических условий волновая функция будет иметь физически приемлемое решение уравнений (1) или (2). Она должна быть определена во всей области изменения координат. Волновая функция не имеет прямого физического смысла по той причине, что ее нельзя наблюдать или измерять в опыте. Ей дается трактовка с точки зрения вероятностной концепции, согласно которой все микроскопические процессы происходят по вероятностным законам. Квадрат модуля |ψ|²≡ψ^*ψ волновой функции пропорционально вероятности найти частицу в окрестностях точки (x,y,z). Если нормируем волновую функцию на единицу

то |ψ|²≡ψ^*ψ будет вероятностью нахождения частицы в окрестностях данной точки пространства. Соотношение (4) дает вероятность достоверного события, если частица существует, то его всегда можно найти в какой-либо точке пространства. Здесь dV=dxdydz. Вводится понятие плотности вероятности того, что частица находится в окрестностях данной точки или просто, как принято говорить, в этой точке

Итак, что плотность вероятности есть вероятность, отнесенная к единице объема

Принцип суперпозиции.

Уравнение Шрёдингера есть дифференциальное уравнение. Для такого уравнения, если имеется два частных решения, например ψ₁ и ψ₂, то сумма этих функций ψ=ψ₁+ψ₂ также будет его решением. Это математическая формулировка известного из классической физики принципа суперпозиции. Однако, в силу вероятностной трактовки волновой функции, смысл принципа суперпозиции отличается от классического аналога. Принцип суперпозиции в квантовой механике формулируется следующим образом: Если частица может находиться в двух различных состояниях ψ₁ и ψ₂, то при наложении будет находиться в новом состоянии ψ. Пусть в состоянии ψ₁ некоторая величина Q имеет определенное значение q₁, а в состоянии ψ₂ - q₂. Тогда в новом состоянии ψ, полученного в результате наложения двух чистых состояний, значение величины Q будет неоднозначным. При измерении величины Q в состоянии ψ получится либо число q₁, либо число q₂ с некоторой определенной вероятностью. Если имеется n состояний ψ_i, и в каждом из них величина Q имеет значения q_i, то суперпозиция этих состояний запишется в виде суммы

Измеряя величину Q в сложном состоянии Ψ, мы получит одно из чисел q_i. Таково физическое содержание принципа суперпозиции в квантовой механике.

Потенциальная яма.

Пусть частица движется вдоль оси x, и его движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками, или бесконечно глубокой ямой. Так наглядно представляют график ступенчатой волновой функции, изображенный на рисунке (3).

рис. 3

График разделяет область изменения переменной на три отдельные области. По условию задачи в первой области и также в третьей частица никогда не попадает. Она движется во второй области, где потенциальная энергия взаимодействия поля с частицей не велика. Рассматривается лишь движение частицы по одной оси Ox, то есть задача является одномерной. С учетом всего этого уравнение Шрёдингера запишем в виде

Ограничение движение частицы в яме задается граничными условиями

Из математики известно, что действительное решение уравнения типа (1) имеет вид

Здесь был введен параметр

Исходя из граничного условия ψ(0)=0, коэффициент B приравняем нулю. Применяя второе условие ψ(l)=0, находим параметр ω². Он определяется соотношением

Тогда решение уравнения примет вид

Применяя условие нормировки волновой функции

получим

Таким образом, получили нормированную волновую функцию, описывающую свободное движение микрочастицы в бесконечно глубокой яме

Из определения параметра ω² и найденного нами соотношения (5) находим

Формула (10) означает, что энергетические уровни частицы в бесконечно глубокой яме дискретны, что обусловлено граничными условиями (2).

Потенциальный барьер.

Рассмотрим график другой ступенчатой функции (рис.4).

рис. 4

Его называют потенциальным барьером, так как частице, движущейся по направлению оси Ox, встречается поле с повышенной потенциальной энергией. Это поле препятствует движению частицы. В общем случае область пространства, где потенциальная энергия повышена, имеет конечную ширину l. График разделяет пространство на три области. Рассматривается два случая, когда налетающая на барьер частица имеет энергию, большую, чем высота барьера (E>U₀), или наоборот, когда E<U₀. Рассмотрим последний случай. Во второй области уравнение Шрёдингера имеет вид

В областях I и III U=0, движение электрона описывается уравнениями

Решения уравнений имеют вид

Произвольные коэффициенты A₁,A₂,A₃ можно истолковать, как амплитуды волн, прошедших через границы барьера, а коэффициенты B₁,B₂ - амплитуду отраженных от границ волн. Коэффициент B₃ равен нулю, что означает отсутствие отраженных волн в третьей области. Прохождение потока частиц через потенциальный барьер характеризуется двумя коэффициентами: коэффициентом R отражения и коэффициентом D прохождения. В классической физике они определяются соотношениями

Здесь n,n′,n″ - плотности падающих на барьер волн, отраженных от барьера и прошедших через барьер частиц. С квантовой точки зрения эти плотности пропорциональны квадратам модулей соответствующих волновых функций \( A_1e^{ik_1x} \), \( B_1e^{-ik_1x} \), \( A_3e^{ik_3x} \). Следовательно, коэффициенты можно определить следующим образом:

С точки зрения математики коэффициенты R и D определяют вероятности отражения от барьера или прохождения через барьер одной частицы из потока n частиц. Поскольку то, что падающая на барьер частица отразится или пройдет, есть событие достоверное. Поэтому сумма этих вероятностей равна единице:

Зная коэффициент прохождения, легко найти коэффициент отражения из формулы (17). Для прямоугольного барьера коэффициент прохождения вычисляется формулой

где U₀,l,E, - высота и ширина барьера, энергия налетающей на барьер частицы. В случае потенциального барьера произвольной формы под знаком экспоненты должен стоять интеграл:

Водородоподобный атом.

Нейтральный атом водорода и ионы, полученные в результате удаления всех электронов, кроме одного, принято называть водородоподобными атомами. В центре таких атомов находится их ядро, в потенциальном поле которого двигается одинокий электрон. Потенциал поля равен

Здесь Z - зарядовое число атомного ядра, r - расстояние электрона от центра ядра, e элементарный заряд, равный модулю заряда электрона. Коэффициент k принимает значения

В этом случае уравнение Шрёдингера имеет вид

Для решения уравнения (22) применяется метод разделения переменных. В результате исходное уравнение расщепляется на три уравнения, каждое из которых является уравнением для одной переменной. Чтобы использовать сферическую симметрию данной задачи, переходим с декартовых координат на сферические координаты r,θ,φ. В этих координатах оператор Лапласа имеет вид

Решение уравнения ищется в виде

Разделение переменных производится в двух этапах. В первый раз применяется множитель разделения

В результате получим два в уравнения:

Здесь мы ввели так называемый параметр λ разделения переменных. Применяя новый множитель разделения

разделим второе уравнение (27) на два уравнения:

Таким образом, получили второй параметр m² разделения переменных. Решая поочередно уравнения (30), (29), (26), найдем решение уравнения Шрёдингера для водородоподобных атомов в виде волновой функции (24). Уравнение (30) в азимутальных переменных есть однородное дифференциальное уравнении второго порядка, оно решается обычным методом. Уравнения (29) и (26) являются уравнениями специального вида, их решения строятся особыми методами математической физики в виде так называемых специальных функций. В процессе поиска необходимых решений доказывается, что лишь при определенных дискретных значениях параметров разделения m,λ и энергии E_n частицы, уравнение Шрёдингера будет иметь физически допустимые решения, удовлетворяющие стандартным условиям непрерывности, конечности и однозначности. Такие решения получаются, если

Тогда волновая функция ψ рассматривается как функция переменных x,y,z при фиксированных значениях переменных n,l,m:

Параметры функции, которые обуславливают дискретность электронных состояний, принято называть квантовыми числами. Переменная n называется главным квантовым числом, переменные l,m орбитальным и магнитным квантовыми числами соответственно. Главное квантовое число определяет допустимые энергетические уровни водородоподобного атома

Только такие значения будет принимать энергия электрона в водородоподобных атомах. Из формул (32) и (33) следует, что одному и тому же значению энергии E_n при фиксированном значении параметра n соответствует совокупность волновых функций при разных значениях параметров l,m. Получается, в разных квантовых состояниях частица может иметь одинаковую энергию. Это противоречит классическому представлению об энергии. Поэтому этот случай называется вырождением энергии.

Понятие спектра, его квалификация.

Классическое понятие момента импульса определяется формулой \( \vec{M}=[\vec{r} \vec{p}] \). Формально на основе этой формулы можно ввести понятие момента импульса в квантовой механике. Однако по ряду причин, которых мы не будем касаться, такое определение вектора момента импульса не имеет физического смысла. Поэтому вводится понятие квантовомеханического вектора момента.

Квантовомеханический момент в отличие от классического момента не имеет определенного направления в пространстве. Его положение можно определить относительно лишь выделенного каким-либо способом направления, иными словами, определить его проекцию на одной из осей координат, проведенной по избранному направлению, при этом его проекцию нельзя определить на двух других направлениях трехмерного пространства. Момент импульса имеет длину, значения которой дискретны и определяются по следующему условию (правилу) квантования:

Здесь переменная \( a \) - некоторое квантовое число. Проекция \( M_{az} \) момента \( \vec{M_a} \) на избранную ось Oz также квантуется по правилу

Из условия (2) следует, что вектор момента относительно избранной оси может иметь только определенные, дискретные положения, количество таких возможных положений равно \( 2a+1 \). Можно определить полярный угол между моментом импульса и избранной оси (рис. 5):

рис. 5

С квантовомеханическими векторами можно работать, как и обычными векторами трехмерного пространства, но с учетом его особенностей. В частности, изображать его направленным отрезком, суммировать два вектора по правилу параллелограмма, определять углы между векторами.

Моменты электрона.

Состояние электрона определяется моментами двух типов: механическим моментом и соответствующим магнитным моментом \( \vec{ \mu} \). С достаточно точным приближением можно утверждать, что электроны обращаются вокруг ядра по круговым орбитам и представляют собой замкнутые электрические токи и являются малыми магнитами. Магнитные свойства электрона характеризуется моментом \( \vec{ \mu} \). Механические свойства электрона, движущегося по орбите, характеризуется механическим моментом \( \vec{ M} \). Оба момента называются орбитальными, поскольку их возникновение в атоме связано движением электронов, которое ради простоты и наглядности считаем орбитальным. Из электродинамики известно, между двумя типами моментов существует связь, называемая гиромагнитным соотношением. Исходя из электродинамических представлений, не трудно получить это соотношение. В гауссовской системе единиц магнитный момент замкнутого тока по кругу имеет вид

где S=πr², r - радиус орбиты электрона, c - электродинамическая константа, I - сила тока в замкнутом контуре. Электрон совершает один полный период за время T, при этом переносит заряд, равный по абсолютной величине элементарному заряду e. Следовательно, сила тока равна

В формулу (4) поставим выражения для переменных I,S, учтем, что

И, окончательно, получим искомое соотношение

Используя квантовомеханическое выражение (1) для длины вектора \( \vec{M_l} \), получим

Из (8) вытекает, что магнитные свойства атома обусловлены движением электрона вокруг ядра. Вводят величину - магнетон Бора:

Тогда (8) примет вид

Попытки теоретического анализа экспериментальных фактов в атомной спектроскопии привели утверждению о том, что кроме механического момента, приобретенного им в результате движения во внешнем поле, электрон должен обладать собственным механическим моментом. Этот момент свойствен электрону по сути самой его внутренней природы, является такой же характеристикой его идентификации, как масса покоя, электрический заряд. Длина собственного момента электрона характеризуется квантовым числом, имеющее единственное значение, равное 1/2. Это квантовое число принято обозначать символом s, называется оно спином или спиновым квантовым числом электрона. Собственный механический момент электрона имеет единственное значение

рис. 6

Относительно избранной оси Oz собственный момент электрона имеет два возможных положения. Спиновое магнитное квантовое число принимает два значения

Полный момент электрона.

Полный механический момент электрона равен сумме двух векторов

Квантовое число j называется результирующим квантовым числом или внутренним квантовым числом электрона. Как видно из (13), результат суммирования неоднозначен, в нашем случае имеется два возможных значения внутреннего квантового числа, следовательно, возможны два возможных значения длины результирующего момента электрона. В этом заключается одно из важных отличий квантовомеханического вектора от обычного вектора.

Каждому механическому моменту соответствует свой магнитный момент. Так результирующему механическому моменту электрона соответствует полный магнитный момент, определяемый векторным суммированием

Соотношение между моментами \( \vec{M_j} \) и \( \vec{\mu_j} \) имеет вид

Коэффициент g называется множителем Ланде и определяется равенством

Знак минус в формуле (15) указывает, что моменты направлены противоположно. Отпуская знак и применяя условие квантования момента импульса (1), получим выражение для длины полного магнитного момента электрона

Естественно предположить связь между моментами (15) сохранятся и в случае их проекций. Тогда имеем

И условие квантования проекции полного магнитного момента примет вид

Двухэлектронная система. LS - тип связи.

Рассмотрим систему из двух электронов. Пусть состояние одного электрона характеризуется набором квантовых чисел n₁,l₁,s₁, а состояние другого - n₂,l₂,s₂. Заметим, что индексация квантовых чисел чисто условна, поскольку мы не можем указать, какой электрон будет первым, какой - вторым. Этим мы указываем лишь то, что в системе находятся два электрона, свободные состояния которых определены разным набором чисел. Итак, свободное состояние первого электрона характеризуется механическими моментами \( \vec{M_{l_1}}\vec{M_{s_1}} \), другого электрона - \( \vec{M_{l_2}}\vec{M_{s_2}} \). А система двух связанных электронов будет характеризоваться другим моментом. Его ищут путем сложения всех четырех моментов. Порядок сложения моментов может быть разным. Поэтому для однозначности наших действий мы должны условиться, как будем связывать (складывать) моменты. Существует в теории атомных спектров общепринятый порядок сложения моментов. Сначала связывают однотипные моменты попарно, получают так называемые промежуточные моменты, а затем, слагая эти моменты, находят искомый момент, характеризующий систему в целом. Все это запишем так:

Промежуточный момент \( \vec{M_L} \) называется полным орбитальным моментом, другой промежуточный момент \( \vec{M_S} \) - полным спиновым моментом. Сложение промежуточных моментов дает результирующий момент \( \vec{M_J} \) системы в целом. Сложение моментов дает однозначный результат. Мы получаем перечень возможных начений и промежуточных моментов и результирующего момента. Так при фиксированных квантовых числах слагаемых моментов квантовые числа L,S,J системы определяются одним общим правилом:

Описанный порядок сложения моментов называется LS - типом связи. Порядок сложения моментов можно выбрать произвольно, поэтому могут быть разные типы связи. Но остается неизменным главное: получают сначала промежуточные моменты, которые затем слагаются в результирующий момент. Такой порядок сохраняется и в случае систем из многих электронов. Условия квантования результирующих моментов и их проекций остается прежними, определяются формулами (1) и (2). Соответствующие полные магнитные моменты системы определяются формулами (17) и (19), где квантовые числа электрона должны быть заменены квантовыми числами системы. В частности, множитель Ланде для системы имеет вид

Пара чисел - значений переменных L,S называют термом системы, тройка определенных чисел L,S,J - ее уровнем. Уровню соответствует определенное значение энергии системы. Отсюда следует, что классическому определению терма соответствует уровень атома. Для теории атома системой будет любой многоэлектронный атом. Каждый уровень атома идентифицируется спектроскопическим символом ^2S+1X_J, где X - буквы латинского алфавита, обозначающие состояния атома по полному орбитальному квантовому числу L. Например, значениям орбитального квантового числа L=0,1,2,3,4,... соответствуют следующие обозначения состояний X=S,P,D,F,G... Электронные состояния по орбитальному квантовому числу l соответствующими прописными буквами. Обозначения S,P,D,F были введены при рассмотрении сериальных закономерностей атомов щелочных металлов. Остальные состояния обозначены буквами, взятыми по порядку их следования в алфавите.

Термы и уровни применяются для классификации и систематизации энергетических уровней в спектрах сложных атомов. Такова главная суть векторной модели атома, при помощи которой, применяя полуклассические рассуждения и обычные векторные диаграммы, можно получить важные результаты квантовой теории, не прибегая к сложным математическим методам. При этом нужно помнить, метод векторной модели нельзя считать строгим, и результаты, полученные этим методом, нуждаются в подтверждении другими исследованиями, проводимыми иными способами.

Тонкая структура.

В результате ввода понятия собственного механического момента электрона была достаточно убедительно истолкована причина тонкой структуры атомных спектров. В атоме электроны, движущиеся вокруг ядра, создают суммарное магнитное поле, которое характеризуется орбитальным магнитным моментом \( \vec{ \mu_L} \). Кроме того, электроны обладают собственными магнитными свойствами, которые суммарно можно характеризовать магнитным моментом \( \vec{ \mu_S} \). В векторной модели атома наложение двух этих магнитных полей рассматривают как взаимодействие двух моментов и называют спин-орбитальным взаимодействием. Спин-орбитальное взаимодействие является внутренним свойством атома, определяется результирующим магнитным моментом (сравни с (17))

и служит причиной возникновения тонкой структуры атомных спектров в отсутствии внешнего магнитного поля. Энергия атома в отсутствии внешнего поля имеет вид

где E₀=T+U - полная энергия частицы в ньютоновой механике, ΔE=U_LS - дополнительная энергия атома в результате спин-орбитального взаимодействия. Значения дополнительной энергии ΔE и их число определяются возможными ориентациями относительно другу друга моментов \( \vec{M_L} \) и \( \vec{M_S} \). Этим же определяется число возможных расщеплений уровня E. Таким образом, расщепление термов LS на подуровни LSJ есть причина тонкой структуры спектральной линии. В результате происходят квантовые переходы между различными уровнями двух термов, вследствие чего возникают компоненты тонкой структуры линий. Расщепление терма на подуровни можно представить в виде диаграммы (7).

рис. 7

Эффект Зеемана.

Ярким примером применения векторной модели атома является теоретическое изучение тонкой структуры атомных спектров во внешнем магнитном поле. Рассмотрим сложный эффект Зеемана.

Из электродинамики известно, что атом в магнитном поле ведет себя как магнитный диполь. Взаимодействуя с внешним полем, он приобретает дополнительную энергию

рис. 8

Здесь мы учли, во второй цепочке равенства первый множитель есть проекция магнитного момента на направление внешнего магнитного поля. Выбирая это направление за ось Oz, мы можем переписать (25) в виде

Итак, каждый уровень свободного атома во внешнем магнитном поле расщепляется на 2J+1 компонент

где ΔE_J определяется формулой (26). Рассмотрим квантовый переход с компоненты E₂ верхнего уровня на компоненту E₁ нижнего уровня (рис. 9). В этом случае энергия перехода равна

рис. 9

С учетом формулы (26) для дополнительной энергии атома, приобретенным им во внешнем магнитном поле, имеем

Теперь разделим равенство (28) на величину ћ, получим

Последнее слагаемое есть величина смещения компоненты спектральной линии в магнитном поле от первоначального положения исходной линии в отсутствии внешнего поля. Формула (29) дает смещение Δω частоты в сложном эффекте Зеемана, когда число компонент расщепления линий больше трех. В особых случаях комбинации уровней LSJ сложный эффект вырождается в простой эффект, в котором спектральная линия расщепляется на три компоненты. Рассмотрим случай перехода между уровнями с квантовыми числами S=0,J=L. Непосредственное вычисление множителей Ланде по формуле (22) показывает, что они для обоих уровней одинаковы и равны единице. В этом можно убедиться непосредственным вычислением этих множителей. Тогда величина смещения равна

Согласно эмпирически найденному правилу отбора разность магнитных квантовых чисел, принадлежащих компонентам двух уровней, между которыми происходит переход, должна равнять либо нулю, либо единице. Это правило записывается следующим образом:

Величина

представляет собой не только смещение, но и разность частот соседних компонент. Ее называют величиной расщепления Лоренца, или ради краткости расщеплением Лоренца. Следовательно, исходная линия расщепляется на три компоненты с соответствующими частотами

Рассмотренный случай называется чисто орбитальным, поскольку результирующий механический момент создается лишь орбитальным движением электронов атома.

Имеет место другой крайний случай, когда момент атома определяется лишь суммарным спиновым моментом его электронов, и его состояние описывается квантовыми числами L=0,J=S. И в этом случае оба множителя Ланде одинаковы, но равны двум. Исходная линия расщепляется на три компоненты:

Простой эффект Зеемана наблюдается, когда квантовый переход осуществляется между уровнями J₁=0 и J₂=1. Поскольку J₁=0, то m₁=0. Магнитное квантовое число m₂=0,±1. Формула (30) примет вид

И, наконец, исходная спектральная линия будет иметь расщепление из трех компонент, если внешнее поле для данного атома будет сильным. Внешнее магнитное поле называется сильным для данного атома, если его взаимодействие с атомом сильнее, чем спин-орбитальное взаимодействие в атоме. При этом внешнее поле разрывает связь между полными спиновым и орбитальным моментами атома, и непосредственно взаимодействует с этими моментами. А слабое магнитное поле взаимодействует с результирующим моментом μ_J, не разрывая спин-орбитальную связь. Математически это можно объяснить следующим образом. Полная энергия атома во внешнем магнитном поле имеет вид

В сильном поле U_LS<<U_LH+U_SH, а в слабом, наоборот. Отсюда следует, что дополнительную энергию, которую атом приобретает, можно записать в виде суммы

Рассматривая квантовый переход между компонентами двух уровней, получим

По известному правилу отбора для спинового магнитного числа Δm_S=0, а для орбитального магнитного числа Δm_L=0,±1. С учетом этого, окончательно, имеем

Принцип тождественности одинаковых частиц.

Многоэлектронный атом, кроме ядра, состоит из двух и более числа электронов, составляющих электронную оболочку атома. Он является важным частным случаем многочастичных квантовых систем, состоящих из абсолютно одинаковых частиц и обладающих особыми свойствами, вытекающими из принципа тождественности одинаковых частиц. Этот принцип квантовой механики гласит о том, что в системах одинаковых микрочастиц возможны координатные перемещения в пространстве, которые не ведут к экспериментально неразличимым состояниям. Для примера рассмотрим двухэлектронную систему. Электроны, которые входят в нашу систему, обладают абсолютно одинаковыми свойствами. Однако с точки зрения классической физики их можно отличить друг от друга, хотя бы отметив их каким-либо образом, например нумерацией. Присвоив номера электронам системы и следя их по траекториям движения, мы всегда можем указать, в каком месте находится электрон № 1 , а в каком - электрон № 2. В этом смысле нумерация частиц имеет вполне определенный смысл. С точки зрения квантовых представлений такая отметина электронов ничего не дает, так как мы в принципе не можем проследить движение частиц по траекториям. Следовательно, различение частиц теряет смысл, именно об этом идет речь в принципе тождественности одинаковых микрочастиц в квантовой механике.

В квантовой механике также применяется метод нумерации, но нумеруются не сами частицы, а координаты точек пространства, где с какой-то вероятностью может оказаться та или иная частица системы. Поскольку в нашей двухчастичной системе находятся только два электрона, то они в один и тот момент времени могут находиться в двух различных точках пространства, которым условно присвоем номера 1 и 2. Поскольку каждая из частиц с равной вероятностью могут находиться в любой из этих точек, мы должны рассмотреть систему в двух вариантах. В первом случае один электрон находится в точке № 1 с декартовыми координатами (x₁,y₁,z₁), в этот же момент другая частица должна находиться в точке № 2 с координатами (x₂,y₂,z₂). Во втором случае электроны поменяем местами. Попарную перестановку частиц системы можно записать математически, применяя оператор перестановки \( \hat{P} \), действие которого состоит в том, что он меняет местами частицы

Из принципа тождественности одинаковых частиц вытекает важное следствие. Исходя из соотношения (1), в квантовой механике доказывается, что состояние системы симметрично относительно положения входящих в нее частиц. Это означает, что при перестановке частиц системы попарно волновая функция либо не меняется, либо меняет знак:

Это свойство называется свойством симметрии волновой функции. Волновая функция, которая не меняется при перестановке частиц попарно, называется симметричной относительно перестановок этих частиц, а если волновая функция при перестановке частиц меняет только свой знак, то она называется антисимметричной относительно перестановок частиц.

Обменное вырождение.

Классическим примером двухчастичной системы является атом He гелия, в поле ядра которого движутся два электрона. В первом приближении, где пренебрегается энергия взаимодействия частиц системы, уравнение Шредингера имеет вид

Здесь - E полная энергия системы, U₁=U(x₁,y₁,z₁), U₁=U(x₂,y₂,z₂) - потенциальные энергии взаимодействия первого и второго электрона с ядром соответственно, ψ - волновая функция, описывающая состояние системы.

По интерпретации Борна волновая функция определяет вероятность состояния. Электроны, по нашему допущению, движутся независимо друг от друга в поле ядра. Поэтому состояние каждого из них не зависит от состояния другого, иными словами являются независимыми событиями. Состояние каждого из электронов описывается волновой функцией водородоподобного типа ψ(x,y,z). Из теории вероятности известно, что вероятность наступления двух независимых событий равно произведению вероятности осуществления этих событий. Исходя из этих соображений, полную волновую функцию системы мы можем представить в виде произведения волновых функций свободных электронов

Так как, по предположению, взаимодействие электронов отсутствует, полная энергия системы слагается из энергий этих частиц

Переменные a,b - совокупность квантовых чисел, определяющих состояние электрона. Поскольку электроны тождественно неразличимы, мы можем предположить, что решением уравнения (3) будет еще одна функция

Функция (6) получается в результате замены электронов местами. Функции (4) и (5) различны, но принадлежат одному и тому же собственному значению E энергии системы. Таким образом, данное значение энергии вырождено в результате перестановки невзаимодействующих электронов системы местами. Такое вырождение энергии называется обменным, оно является следствием неразличимости одинаковых частиц.

Заметим, что в случае взаимодействующих электронов системы волновая функция ψ не может быть представлена в виде функций (4) и (6), и вырождение собственной энергии системы будет отсутствовать.

Волновые функции (4) и (5) не обладают свойствами симметрии, как это требует принцип тождественности одинаковых частиц, поэтому они не подходят для описания движения электронов. Однако с их помощью можно построить функции, которые имеют свойства симметрии. Как известно, из двух известных решений (4) и (6) линейного дифференциального уравнения (3) всегда можно построить его третье решение в виде их линейной комбинации:

Теперь требуется подходящий подбор значений постоянных коэффициентов α,β чтобы функция (7) была симметричной или антисимметричной относительно перестановок электронов. Решение этой задачи не представляет особой трудности.

Понятие кристаллов.

Кристаллом называется тело, обладающее периодической атомной, молекулярной или ионной структурой. Под периодичностью подразумевается упорядоченное расположение вещества в трехмерном пространстве.

Определенное для каждого вещества расстояние, через которое повторяется порядок расположения частиц, называется периодом кристаллической решетки.

Точки равновесного положения, относительно которых колеблются частицы, называются узлами. Такими частицами могут быть нейтральные атомы, положительные и отрицательные ионы, молекулы. Поэтому бывают кристаллы атомными, ионными и молекулярными.

Типы химических связей.

Силы, или взаимодействия атомов, приводящие к образованию молекул веществ, а также кристаллов называют химической связью. В случае кристаллов можно указать пять таких связей: ионную, ковалентную, водородную, металлическую и молекулярную связи.

Ионная связь находит полное объяснение в классической электродинамике, как кулоновское притяжение между разноименными электрическими зарядами.

Ковалентная связь объясняется квантовомеханическими особенностями взаимодействия.

Внутренняя энергия кристалла и теплоемкость.

Внутренняя энергия твердых тел, в основном, обусловлена тепловыми колебаниями кристаллической решетки. В состоянии теплового равновесия частицы движутся так, что их полная энергия все время с высокой точностью равна внутренней энергии тела dE=dQ. Для бесконечно малых изменений имеет место уравнения вида

Теплоемкостью тела называется количества тепла, которое необходимо сообщить телу, чтобы его температура изменилась на 1 К:

В случае твердого тела, когда объем и форма тела при малых изменениях температуры не меняются, изменение энергии равно количеству переданной телу тепла.

Следовательно, теплоемкость тела определяется как теплоемкость при постоянном объеме

Таким образом, вычисление теплоемкости кристаллов первоначально сводится к определению их внутренней энергии.

Теплоемкость идеальных кристаллов.

Классическая модель кристалла заключается в следующем. Каждый атом можно рассматривать как трехмерный гармонический осциллятор. Если в узлах кристаллической решетки сидят N атомов (или ионов), то кристалл будет представлять собой совокупность 3N одномерных гармонических осцилляторов. Согласно классической электродинамике каждому одному гармоническому осциллятору в среднем приходится энергия, равная \( \overline{ \varepsilon } \)=kT. Отсюда следует, то вся внутренняя энергия кристалла равна

Исходя из формул (3) и (4), получим известную в классической физике формулу Дюлонга - Пти для одного моля вещества

Модель кристаллов Эйнштейна.

Эйнштейн создал теорию теплоемкости кристаллических тел с учетом квантования колебательной энергии. Для этой цели он выдвинул модель кристалла в следующем виде. Во-первых, твердое тело представляет собой совокупность атомов, колеблющихся независимо друг от друга, но с одинаковой частотой. Иными словами, кристаллы представляют собой 3N одномерных гармонических осцилляторов с одинаковой собственной частотой ω. Во-вторых, энергия каждого гармонического осциллятора определяется формулой

Среднее значение энергии, приходящееся на один осциллятор, равно

Подставляя в формуле (4) новое значение \( \overline{\varepsilon } \), получим выражение для внутренней энергии кристалла, а затем, дифференцируя полученное выражение, найдем искомое выражение

Рассмотрим предельные случаи, когда температура кристалла можно считать высокой или низкой. Выражение (8) является функцией от температуры при фиксированной частоте осцилляторов

Если имеет место условие

то температуру T будем считать высокой. Из условия (10) следует, что

Применение этих соотношений к выражению (8) приводит к классическому закону Дюлонга-Пти.

В другом предельном случае, когда имеет место условие

температуру будем считать низкой. Из условия (12) следует, что

И выражение для теплоемкости кристаллов при низких температурах имеет вид

Итак, сделаем следующий вывод. При низких температурах модель Эйнштейна дает лишь качественно правильный ход изменения теплоемкости в зависимости от температуры. При приближении к абсолютному нулю теплоемкость кристалла стремится к нулю, качественно согласуется с опытом, но отсутствует количественного совпадения с экспериментальными данными.

Модель Дебая.

По Дебаю кристалл представляет собой совокупность N упруго связанных друг с другом атомов со 3N степенями свободы. Иными словами, кристалл представляет собой систему упруго связанных 3N одномерных гармонических осцилляторов, колеблющихся с разной частотой ω. Внутренняя энергия такого кристалла равна полной энергии всех осцилляторов

Поскольку количество атомов в кристалле велико, вычисление суммы (14) является трудной задачей, необходимо искать другой путь решения задачи. Этот путь нашел Дебай.

Метод Дебая.

В основу метода Дебая лежит теория упругих волн в сплошной среде. Чтобы использовать методы этой теории, Дебай выдвинул следующее предположение: поскольку при высоких температурах внутренняя энергия тела зависит только от числа степени свободы (то есть от числа частот), то можно допустить, что при низких температурах основную роль будут играть низкие (или звуковые) частоты. Длины волн, соответствующих этим частотам, будут значительно больше, чем межатомные расстояния. Это обстоятельство дает возможность пренебречь атомной структурой кристалла, и можно рассматривать его как сплошную среду. Тогда колебания одного из атомов приводят к образованию стоячих волн в кристалле, количество которых в данном образце всегда можно сосчитать.

С учетом распространения в твердом теле продольных и поперечных волн с интервалом частот от ω до ω+dω в единице объема кристалла будет приближенно равно

где v - средняя (фазовая) скорость упругих волн в кристалле. Она определяется формулой

где v_||, v_⊥ - фазовые скорости продольных и поперечных волн соответственно.

Необходимо исключить фазовую скорость из формулы (15). Для этого будем считать, что длина рассматриваемого интервала частот лежит от нуля до некоторого максимального значения ω_max, допустимого методом. А число колебаний в единице объема кристалла будет равно числу степеней свободы

где n=N/V - концентрация частиц в кристалле. Подставив в (17) выражение (15) для dN_ω, проинтегрируем левую часть равенства (17). Это позволит нам выразить v³ следующим образом:

Среднее значение энергии, которое приходится одномерному осциллятору, найдено при решении уравнения Шрёдингера для осциллятора:

Поставляя (19), (18) и (15) в интеграл

получим выражение для внутренней энергии кристалла в единичном объеме

Здесь \( U_0=\frac{9}{8}n\hbar{ \omega_{max}} \) - энергия нулевых колебаний кристалла. Теплоемкость единицы объема кристалла выражается формулой

Анализ формулы (22) приводит к следующим выводам. Во-первых, при высоких температурах \( T \gg\frac{\hbar{ \omega_{max}}}{k} \) формула Дебая (22) переходит в закон Дюлонга - Пти. Во-вторых, вблизи абсолютного нуля температур теплоемкость кристаллической решетки меняется пропорционально третьей степени температуры

Это и есть закон кубов Дебая. В-третьих, формула Дебая дает количественное согласие с опытом для простых решеток, для решеток сложной структуры она количественно расходится с опытом. В-четвертых, вводится так называемая характеристическая температура Дебая

Температура Дебая указывает ту область температур, где становится существенным квантование энергии колебаний.

Энергетические зоны в кристаллах.

Из-за пространственной периодичности структуры кристаллической решетки потенциал электрического поля внутри кристалла является периодической функцией координат:

где a,b,c - периоды решетки вдоль осей координат x,y,z. Блох доказал теорему о том, что решение уравнения Шрёдингера с периодическим потенциалом имеет вид

где k - модуль волнового вектора. U_k(r) - функция, имеющая периодичность решетки. Собственные значения E_k энергии, соответствующие функциям ψ_k(r) дискретны. График зависимости E_k от переменной k позволяет построить диаграмму энергетических зон (рис. 10).

рис. 10

Определенные области числовой оси E_k не доступны возможным значениям энергии, такие области нарисованы белыми прямоугольниками диаграммы. Эти области называются запрещенными зонами, поскольку в них не попадают допустимые значения энергии. Их отделяют друг от друга разрешенные зоны, в которых лежат дискретные значения энергии, которые являются подуровнями соответствующих уровней свободных атомов. В результате взаимодействия атомов каждый уровень свободного атома расщепляется на подуровни, и образует разрешенную энергетическую зону. Число подуровней в каждом уровне равно количеству атомов в образце кристалла. С увеличением энергии атома ширина разрешенных зон увеличивается, а ширина ΔE запрещенных зон уменьшается.

Разрешенные зоны характеризуются степенью их заполнения электронами. В зависимости от этого они могут быть свободными, частично или полностью заполненными электронами. Разрешенную зону, возникшую из того уровня, на котором находятся валентные электроны в основном состоянии атома, называют валентной зоной. Валентная зона может быть частично или полностью заполненной. Зоны лежащие над валентной зоной, называются зонами проводимости, они могут быть свободными или частично заполненными. Зоны, лежащие под валентной зоной, всегда полностью заполнены, они не играют роли на электрические свойства кристалла. В частности, электропроводность кристаллов можно объяснить взаимным расположением зоны проводимости и валентной зоной. С точки зонной теории различие в электрических свойствах разных кристаллов могут объясняться шириной запрещенных зон и степенью заполнения электронами разрешенных энергетических зон.

Если валентная зона частично заполнена, то кристалл будет проводником, так как небольшая сила воздействия внешнего электрического поля достаточна для преодоления энергию хаотического теплового движения электронов и их перемещения по кристаллу. По той причине кристалл будет проводником и в том случае, если валентная зона полностью заполнена, а следующая зона проводимости частично заполнена. Если зона проводимости, лежащая над валентной зоной, свободна от электронов, то кристалл будет либо диэлектриком (изолятором), либо полупроводником. Все зависит от ширины запрещенной зоны, лежащей между зоной проводимости и валентной. Если ширина запрещенной зоны не велика, примерно порядка 10^-1 эВ, то кристалл будет полупроводником, так как можно сообщить электрону такую энергию, не разрушая структуру кристалла. Получив такую порцию энергии, электрон преодолеет запрещенную зону и попадет в зону проводимости. Зона проводимости станет частично заполненной, а кристалл будет проводить электрический ток. Если же ширина запрещенной зоны, лежащей между валентной зоной и зоной проводимости, будет порядка ΔE∼1÷5 эВ, то кристалл будет изолятором. Сообщая электрону такую энергию, необходимую для преодоления ширины запрещенной зоны, внешнее поле разрушит структуру кристалла.

Полупроводники.

С точки зрения зонной теории полупроводниками называются кристаллические вещества, у которых валентная зона полностью заполнена электронами, но запрещенная зона над нею почти примыкает с нею, и увеличение интенсивности теплового движения электронов увеличивает возможность (вероятность) перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости. Название полупроводников они получили благодаря тому, что их электропроводность промежуточна между электропроводностями проводника и диэлектрика. Но наиболее важно то, что в отличие от металлов электропроводимость у них возрастает с увеличением температуры. Итак, полупроводник - это вещество, которое характеризуется промежуточной по сравнению с электрическими проводимостями металла и диэлектрика электропроводимостью, возрастающей с увеличением температуры. В природе полупроводящих веществ много. Но к типичным представителям полупроводников, широко применяемых в полупроводниковой технике, относятся германий (Ge), кремний (Si). У них ширина запрещенной зоны между полностью заполненной валентной зоной и свободной зоной не велика: у кремния - 1,1 эВ, у германия - 0,75 эВ.

Электропроводимость полупроводников создается электронами полностью заполненной валентной зоны, когда они переходят в свободную (пустую) зону, расположенную над валентной зоной. Такой переход осуществится в том случае, когда в заполненной зоне из-за малого изменения температуры кристалла электрон, лежащий на потолке валентной зоне, получит энергию порядка kT от колеблющего иона решетки. В результате в свободной зоне появляется некоторое число носителей тока - электронов, занимающих уровни вблизи дна зоны. В результате свободная зона становится зоной проводимости. Таков механизм собственной электронной проводимости полупроводника. Такая проводимость возникает в химически чистых веществах, по этой причине эти вещества принято называть собственными (естественными) полупроводниками.

Электрон, ушедший из валентной зоны, оставляет в ней вакантное энергетическое состояние с избытком положительного заряда, равным абсолютной величине заряда электрона. Освободившееся энергетическое состояние занимает другой электрон валентной зоны, в результате он уходит с прежнего месторасположения, где вновь создается избыток положительного заряда. Создается иллюзия, что по полупроводнику перемещается частица с положительным зарядом, хотя не существует никакой другой частицы, а лишь по мере продвижения электронов в одном направлении возникает изменение потенциала электрического поля в противоположном направлении. Опустевшее место, откуда ушел электрон, называют дыркой, а электропроводность полупроводника, обусловленную перемещением дырок, называют дырочной проводимостью. Если чистый полупроводник включить в цепь, то хаотическое движение электронов и дырок превратится в электрический ток. Свободные электроны будут двигаться от отрицательного полюса к положительному, а дырки - в обратную сторону. Процесс перемещения дырок в направлении внешнего электрического поля, а электронов - противоположном направлении идет по всему объему полупроводника. Таким образом, собственная проводимость естественных полупроводников имеет смешанный электронно-дырочный характер. Она обусловлена электронами в зоне проводимости и дырками в валентной зоне. Каждому электрону, ушедшему в зону проводимости, соответствует одна дырка. Концентрации электронов проводимости и дырок в проводнике одинаковы и определяются формулой

где ΔE₀ - энергия активации собственной проводимости полупроводника, T - его температура. Энергией активации полупроводника называется энергия необходимая для перевода электрона из нижней заполненной зоны в зону проводимости, равная в крайней мере ширине запрещенной зоны.

Вероятность того, что данный уровень будет занято электроном, дается формулой распределения Ферми - Дирака

где E - уровень энергии электрона в рассматриваемом квантовом состоянии, E_F - энергия (уровень) Ферми, в общем случае зависящая от температуры. Но обычно энергией Ферми называют максимальное значение энергии электрона в зоне проводимости при абсолютном нуле. Иными словами, уровень Ферми - это самый высокий уровень зоны проводимости, занятый электроном при температуре, равной 0° K. Для полупроводников и диэлектриков, как показывает теоретический расчет, уровень Ферми расположен на середине запрещенной зоны. Это означает, что в данном случае энергия Ферми не соответствует энергии какого-либо реального электрона. Однако понятие энергии Ферми имеет большое значение для описания статистических свойств электронов в полупроводниках и диэлектриках.

Электронные свойства естественного полупроводника меняются при введении примесей даже в ничтожных количествах. Примеси создают добавочные энергетические уровни в области запрещенной зоны собственного полупроводника, расположенной между заполненной валентной зоной и пустой зоной. Смещается положение уровня Ферми. Тем самым изменяют характер запрещенной зоны. Поэтому с помощью добавления в чистый полупроводник различных примесей можно получить такие полупроводники, которые обладают преимущественно либо электронной, либо дырочной проводимостью.

Процесс введения примесей в полупроводник принято называть легированием. Например, в чистый расправленный германий добавляют в ничтожно малом количестве (около 0,00001%) примеси, состоящей из атомов мышьяка. После затвердевания расплава получим сплав, имеющий, в основном, кристаллическую решетку чистого германия, но в некоторых узлах вместо атомов германия будут находиться атомы мышьяка.

Пусть в вещество, состоящее из атомов германия, добавлены атомы мышьяка. Атом германия является четерыхвалентным, то есть вне заполненных слоев содержит четыре внешних электрона (4s² 4p²). Поэтому каждый атом данного элемента взаимодействует с четырьмя соседними атомами с помощью пар обобществленных электронов. Такая связь (вид взаимодействия) называется ковалентной (или парно-электронной). Атом мышьяка содержит вне заполненных слоев пять внешних электронов (4s² 4p³), и в нормальном состоянии каждый его атом будет находиться в ковалентной связи с пятью соседними атомами. Рассмотрим, что произойдет в единичном случае замены атома германия атомом мышьяка. Когда пятивалентный атом мышьяка появится в расплаве германия, будет окружен четырехвалентными атомами германия, а в процессе превращения расплава в сплав, его четыре внешних электрона вместе четырьмя атомами германия образуют электронные пары ковалентной связи между ним и четырьмя атомами германия, в результате в кристаллической решетке сплава появится узел, содержащий атом мышьяка. Пятый «лишний» для такой связи электрон не может образовать валентную связь, окажется очень слабо связанным с ядром своего атома. И может легко отрываться от атома. Поэтому при обычной температуре все атомы мышьяка, находящиеся в узлах решетки сплава оказываются ионизированными. Таким образом, получается, что ионы мышьяка остаются в узлах решетки, «лишние» электроны, потерявшие связь со своими атомами становятся свободными носителями зарядов. Проводимость нового кристалла будет преимущественно обусловлено отрицательно (негативно) заряженными электронами. Поэтому такую проводимость полупроводника принято называть n - типа проводимостью. Примеси, у которых «лишние» электроны атомов становятся свободными носителями зарядов в кристалле, называются донорами, или донорной примесью. Действительно, атомы таких примесей отдают кристаллу электроны, которые затем могут быть использованы как электроны проводимости. Полупроводник с добавленной к нему донорной примесью называют примесным полупроводником n - типа.

Теперь рассмотрим случай, когда валентность атомов примеси на единицу меньше валентности атомов германия, например индия (In), у которых имеется по три валентных электрона (5s² 5p¹). При образовании сплава эти три электрона хватит для образования ковалентной связи с тремя соседними атомами германия. А для установления четвертой ковалентной связи, необходимой для образования узла решетки, недостающий электрон атом индия захватывает у одного из соседних атомов германия и превращается в отрицательный ион. В атоме германия, откуда ушел захваченный электрон, возникает дырка, которая способна хаотически двигаться по кристаллу. Таким образом, у кристалла сплава, состоящего из германия с примесью атомов индия, проводимость будет преимущественно дырочной. Такую проводимость примесного полупроводника называют проводимостью p - типа (от слова позитив - положительный). Примесь, создающую проводимость p - типа, называют акцепторной (принимающей) или примесью p - типа. Полупроводник с добавленной к нему акцепторной примесью называют примесным полупроводником p - типа.

Наличие примесей при низких температурах смещает уровень Ферми с середины запрещенной зоны. Она в полупроводниках n - типа располагается в верхней половине запрещенной зоны ближе к дну свободной зоны, а в полупроводниках p - типа отпускается в нижную половину запрещенной зоны ближе к потолку валентной зоны. При повышении температуры она вновь смещается к середине запрещенной зоны.

Наличие приемущественно либо электронного, либо дырочного характера проводимости примесного полупроводника подтверждается при исследовании эффекта Холла - возникновения поперечной разности потенциалов в проводнике с током в магнитном поле. По знаку разности потенциалов можно определить знак заряда носителей, движение которых осуществляет электрический ток. Наблюдаемый знак поперечной (холловской) разности потенциалов соответствует в полупроводниках n - типа отрицательным носителям тока, а в полупроводниках p - типа - положительным носителям.

Влияние донорной и акцепторной примесей на запрещенную зону собственного полупроводника между его валентной и свободной зон заключается в возникновении дополнительных энергетических уровней. Поскольку они появляются в результате внесения примесей, их называют примесными уровнями. Эти дополнительные уровни располагаются в той же области значений энергии, что и запрещенная зона чистого полупроводника. Примесные уровни, которые появляются в результате внесения донорных примесей, являются уровнями тех примесных электронов, которые были отданы кристаллу. Их называют донорными. Если они располагаются в области запрещенной зоны вблизи дна свободной зоны, то для перевода электронов, занимающих донорные уровни, в свободную зону требуется незначительная энергия теплового возбуждения. Примесные энергетические уровни, появившиеся в результате внесения акцепторной примеси, будут существенно повлиять на электрические свойства кристалла в том случае, если они расположены в запрещенной зоне вблизи потолка валентной зоны. В этом случае электроны, которыми были заняты верхние уровни валентной зоны, легко могут быть переведены на акцепторные уровни. Вместе ушедших из валентной зоны электронов появляются дырки, тем самым в этой зоне создается дырочная проводимость.

При повышении температуры полупроводника концентрация примесных носителей скоро достигает насыщения, то есть все электроны уходят из донорных уровней, примесные уровни заполняются полностью электронами, но зато в большей мере начинает сказываться собственная проводимость полупроводника, обусловленная переходом электронов непосредственно из валентной зоны в зону проводимости. Таким образом, в полупроводниках сначала при низких температурах будет преобладать примесная проводимость, затем по мере повышения температуры проводимость в них будет складываться из примесной и собственной проводимостей, а затем при еще более высоких температурах проводимость будет преимущественно собственной.

Ядро атома.

Каждый атом обладает отрицательно заряженной электронной оболочкой и положительно заряженным атомным ядром.

Атомное ядро - это центральная часть атома, в которой сосредоточена 99,95 % всей массы атома. Она обладает ничтожно малым размером и колоссальной прочностью. Для сравнения скажем, что для отрыв обоих электронов от атома гелия достаточно энергии 79 эВ, а для разрыва ядра гелия на составные части необходима энергия 28 МэВ.

Существование в атоме тяжелого плотного положительно заряженного ядра было открыто Э. Резерфордом и его сотрудниками в 1906 году при изучении рассеяния α-частиц атомами золота и некоторых других металлов. Прочность атомных ядер была впервые установлена также этими опытами.

Ядро простейшего атома - атома водорода - состоит из одной элементарной частицы, называемой протоном. Ядра всех остальных атомов состоят из двух видов элементарных частиц - протонов и нейтронов.

Протон был открыт Резерфордом, когда он продолжил свои опыты с частицами. Он заметил, что при облучении α-частицами азота, бора и других элементов возникают новые частицы, также создающие сцинтилляции, но отличающиеся от частиц большей проникающей способностью. С помощью магнитного отклонения и других методов удалось установить заряд и массу, а тем самым природу этих частиц. Они оказались быстродвижущимися ядрами атомов водорода. Частицы были названы протонами.

В 1920 году Резерфорд высказал гипотезу о возможности существования в атомном ядре нейтральной частицы с массой, примерно равной массе протона. Он называл эту частицы нейтроном. Нейтрон был открыт в 1932 году Дж. Чедвиком, когда исследовал неизвестное излучение, открытое другими учеными. Чедвик установил, что данное излучение представляет собой поток нейтральных частиц с массой, примерно равной массе протона. Тем самым нашел ту частицу, существование которой предсказал его учитель Резерфорд. Таким образом, была выдвинута гипотеза о протонно-нейтронном строении ядра. Обе частицы носят общее название нуклонов.

Заряд ядра.

В 1913 году Г. Мозли выполнил опыты по измерению электрического заряда атомных ядер различных химических элементов по рентгеновским спектрам, испускаемым атомами этих элементов при их облучении потоком электронов высоких энергий. Он установил, что заряд атомного ядра равен произведению элементарного электрического заряда e, равного абсолютной величине заряда электрона, на порядковый номер соответствующего химического элемента в таблице Менделеева

Оказалось, что порядковый номер химического элемента определяется числом положительных элементарных зарядов в ядре любого атома химического элемента. В связи с этим порядковый номер элемента называется зарядовым числом.

Масса ядра.

Она немного отличается от массы атома. Обычно массу ядер выражают в особых единицах, называемых атомными единицами (а.е.м.). За 1 а.е.м. принята 1/12 часть массы атома углерода с массовым числом 12. Масса протона и нейтрона равны соответственно: m_p=1.00728, m_n=1.00867 а.е.м.

Масса частицы связана с ее полной энергией соотношением Эйнштейна

Поэтому в ядерной физике и физике элементарных частиц массу принято измерять в энергетических единицах, как правило, в МэВ. Энергетический эквивалент атомной единицы массы равен

Массы электрона, протона и нейтрона в энергетических единицах равны

Массы атомов и атомных ядер измеряются с помощью масс-спектрографом. По известным значениям индукции B магнитного поля, скорости v, заряда q иона и радиуса r окружности определяется масса иона

Размер ядра.

О размерах ядра нельзя говорить с той же определенностью и однозначностью, как это делается в случае макроскопических тел. Наибольшей определенностью характеризуются размеры тяжелых ядер. Для количественного определения ядер вводят понятие радиуса ядра. Атомные ядра являются микрочастицами, для которых существенны квантовомеханические закономерности, поэтому не имеют четко определенной границы. Были разработаны несколько способов определения радиуса ядра, основанные на том или ином методе измерения. Они показывают, что радиусы всех ядер могут быть вычислены по приближенной формуле

(4) где A - массовое число, равное целому числу, ближайшему атомному весу соответствующего химического элемента. Вводится единица измерения длины в ядерных масштабах. Эта единица называется Ферми. 1Ф=10^-15м.

Энергия связи.

Ядро представляет собой прочно связанную систему нуклонов, между которыми действуют ядерные силы. Точные измерения показали, что если несколько протонов и нейтронов сливаются в единое ядро, то часть их массы Δm пропадает, превращаясь в энергию

Поэтому масса ядра всегда меньше суммы масс входящих в него нуклонов:

Величину Δm называют дефектом массы, а величина ΔE равна энергии связи нуклонов в ядре. Из закона массы-энергии можно получить выражение для энергии связи:

Выражение энергию связи нуклонов в ядре принято написать в МэВ

Здесь в скобках масса нуклонов и ядра заданы в атомных единицах масс. Таким образом, энергия связи есть та минимальная энергия, которую нужно затратить для разделения (расщепления) атомного ядра на составляющие его нуклоны. Эта энергия расходуется на совершение работы против действия ядерных сил притяжения между нуклонами. Вводят понятие удельной энергии связи, под которым подразумевают отношение энергии E_св связи нуклонов ядра к числу всех нуклонов в ядре - массовому числу A

Классификация ядер по составу нуклонов.

Для обозначения ядер применяется символическая запись ядра

где под символом X подразумевается знак химического элемента, соответствующего данному ядру. Символы Z,A зарядовое и массовое число ядра. Массовое число - это целое число, ближайшее к атомной массе атома, выраженной в а.е.м. Оказалось, что оно равно числу нуклонов в ядре: A=Z+N. Число протонов равно зарядовому числу. Классификация ядер по составу нуклонов позволяет подразделять их на изотопы, изобары, изотоны и зеркальные ядра.

Ядра с одинаковыми зарядовыми числами Z, но разными массовыми числами A называются изотопами. Известны изотопы водорода: протон ₁H¹, дейтрон ₁H² и тритий ₁H³, соответственно атомы называются протием, дейтерием, и тритием. Все ядра имеют по нескольку изотопов.

Изобарами называются ядра с одинаковым массовым числом A, но разными зарядовыми числами Z. Например, ядра ₈O¹⁶, ₇N¹⁶.

Ядра с одинаковым числом N нейтронов называются изотонами. Группу изотонов образуют ядра \( _{6}^{14}C_8 \), \( _{8}^{16}O_8 \), \( _{7}^{15}N_8 \).

Зеркальными называются два ядра с одинаковыми массовыми числами A, для которых число протонов одного равно числу нейтронов другого, или наоборот. Например, ядра \( _{1}^{3}H_2 \), \( _{2}^{3}He_1 \) или пара других ядер \( _{4}^{7}Be_3 \), \( _{3}^{7}Li_4 \).

В ядерной физике используют несколько моделей, которые объясняют отдельные характерные особенности ядра. Такое обстоятельство вызвано серьезными трудностями построения полной теории ядра. Каждая модель описывает свою совокупность свойств ядра и свой круг явлений. В каждой модели содержатся произвольные параметры, значения которых подбираются так, чтобы получить согласие с экспериментом.

Модель жидкой капли.

Идея капельной структуры ядра была предложена Я. И. Френкелем в 1939 году, и затем была развита Н. Бором и другими учеными. В капельной модели принимается, что ядро ведет себя подобно капле несжимаемой заряженной жидкости. Такая модель представляется наиболее обоснованной для ядер с большими массовыми числами A. За исключением легких ядер концентрации нуклонов, плотность вещества в ядре, среднее расстояние между нуклонами практически одинаковы во всех ядрах. Это позволяет считать ядра несжимаемыми. Несжимаемость «ядерной жидкости» отражает тот факт, что между нуклонами существует очень сильное взаимодействие.

Капельная модель позволила истолковать полуэмпирическую формулу для энергии связи частиц в ядре. Эта формула была получена К.Ф. Вейцзекером в 1935 году, она имеет вид

Коэффициенты a_i(i=1,2,3,4) определяются эмпирически и заданы в МэВ.

Формула была получена из анализа экспериментальных данных и не связана c конкретными моделями ядер. Однако капельная модель ядер позволяет простейшим образом истолковать физический смысл трех первых членов суммы (1). Первое слагаемое представляет так называемый объемный эффект. Чем больше число нуклонов, тем труднее оторвать отдельный протон или нейтрон от ядра. Энергия связи прямо пропорциональна полному числу нуклонов, так же, как энергия, необходимая для превращения определенного количества жидкости в пар, оказывается пропорциональной массе жидкости. Второе слагаемое называется поверхностным эффектом. Нуклоны на поверхности ядра не со всех сторон окружены другими нуклонами. В результате возникает этот эффект, подобный поверхностному натяжению в жидкостях. Поскольку поверхностный эффект уменьшает энергию связи ядра, он входит в формулу со знаком «минус». Третье слагаемое дает величину эффекта, обусловленного кулоновским взаимодействием электростатического отталкивания. Оно также уменьшает энергию связи нуклонов. Два последних члена суммы не могут быть истолкованы на основе чисто капельной модели. Однако с позиций капельной модели можно объяснить многие ядерные явления, в том числе деление тяжелых ядер.

Модель ядерных оболочек.

Экспериментально установлено, что многие свойства ядер изменяются периодически подобно свойствам атомов химических элементов. Были обнаружены ядра, которые выделяются среди остальных ядер особой прочностью. Оказалось, что такие ядра содержат определенное магическое число нейтронов или протонов. Для таких ядер, содержащих магическое число протонов, характерно сферическая симметрия распределения зарядов в невозбужденных состояниях. Этим они напоминают инертные газы. В соответствии с опытом особо устойчивыми оказываются ядра, у которых либо число протонов, либо число нейтронов или оба эти числа одновременно равны 2,8,20,28,50,82,126. Эти числа и ядра с такими числами нуклонов называются магическими. Особой устойчивостью обладают дважды магические ядра. Их всего пять: ₂He⁴, ₈O⁸, ₂₀Ca⁴⁰, ₂₀Ca⁴⁸, ₈₂Pb²⁰⁸. Магические ядра гораздо чаще, чем другие, встречаются в космических лучах, у них наибольшая энергия связи. Существование особенно устойчивых ядер, которые состоят из магического числа нуклонов, напоминает стабильность атомов с заполненными оболочками. Таковы факты, которые навели ученых на мысль об оболочечной структуре ядер, и она привела их к созданию модели ядерных оболочек. Эта модель строится по аналогии с теорией электронных оболочек атома.

Основная идея оболочечной модели ядер состоит в том, что взаимодействие любого нуклона ядра с остальными нуклонами можно приблизительно описать с помощью некоторой функции U(r) в виде усредненной потенциальной ямы, соответствующей распределению потенциальной энергии взаимодействия нуклонов относительно центра ядра. В основе модели лежит допущение о том, что реальные, действующие между нуклонами силы можно заменить общим для всех нуклонов силовым центром. Считается, что нуклоны движутся независимо друг от друга в центрально-симметричном поле этого силового центра. Эмпирически подбирается соответствующий данному полю потенциал U(r), и составляется уравнение Шрёдингера. Таким образом, задача о многих частицах заменяется задачей об одной частице-нуклоне, которая движется в электрическом поле, созданном всеми остальными нуклонами. Найденные допустимые значения энергии нуклона, соответствующие физически допустимым решениям уравнения, дискретны и называются одночастичными энергетическими уровнями. Они распределяются по группам, разделенным областями числовой оси, где не попадают возможные значения энергии ядер. Области, где не попадают допустимые значения энергии ядер, принято называть щелями.

Таким образом, ядерные состояния характеризуются тремя квантовыми числами, как и атомные состояния: n,l,j, где квантовое число j полного момента ядра определяется по правилу

Формула (2) учитывает спин-орбитальное взаимодействие, в котором участвует нуклон в ядре. Квантовые числа n,l определяют уровень ядра, а j_± - подуровни.

Протоны и нейтроны в отдельности заполняют уровни в зависимости от их числа в ядре, каждому уровню соответствуют две оболочки - протонная и нейтронная. Они заполняются с учетом принципа запрета Паули, согласно которому на уровне могут быть только два фермиона со спином 1/2, каковыми являются нуклоны. Каждый подуровень, соответствующий полному квантовому числу j может содержать 2j+1 нуклонов одного сорта (протона или протона). Последовательно заполняя все уровни данного ядра с учетом принципа минимума энергии, мы получим схему его энергетических уровней в потенциальной яме, которая по своей структуре будет напоминать, хотя весьма отдаленно, диаграмму атомных уровней. Расположение уровней зависит от глубины, ширины и формы потенциальной ямы.

Оболочечная модель ядра позволяет объяснить многие реальные свойства атомных ядер. Однако на них мы не будет останавливаться.

Понятие радиоактивности.

Радиоактивность - это самопроизвольное превращение одних атомных ядер в другие, сопровождаемое испусканием элементарных частиц. Радиоактивность была впервые обнаружена в 1895 году французским физиком Беккерелем. В 1898 году Мария и Пьер Кюри получили 1 грамм радиоактивного вещества. Химический элемент, из которого состояло данное вещество, было назван полонием (Po).

Резерфорд обнаружил, что излучение радиоактивных веществ магнитным полем разделяется на два потока. Один поток состоит из α - частиц, другой - из электронов. Затем Пауль Виллард открыл еще одну компоненту излучения, которое не отклоняется магнитным полем. Это было электромагнитное излучение очень высокой энергии. Поэтому виды радиоактивного излучения называются α - излучением, β - излучением и γ - излучением. Кроме этих видов излучения были обнаружены и другие, но в более позднее время.

Радиоактивный распад характеризуется временем его протекания, сортом испускаемых частиц, их энергиями. Радиоактивность является первым ядерным процессом, обнаруженным человеком. Радиоактивные распады являются частным случаем ядерных реакций, которые выделены в особые группы из-за большого времени протекания таких процессов от 10^-9 до 10^-22 с. Ядра, которые способны к радиоактивным превращениям, называются нестабильными, или радиоактивными, остальные - нерадиоактивными. Нестабильные ядра называют также радиоизотопами.

Закон радиоактивного превращения.

Формулировка основного закона радиоактивного распада отражает статистический характер явления. Нельзя предсказать, когда именно распадется данное нестабильное ядро, но можно определить вероятность распада одного ядра в среднем за единицу времени. Закон имеет следующий вид:

Среднее число распавших ядер, то есть убыль исходных ядер за бесконечно малое время dt прямо пропорционально числу N ядер в начале наблюдения и промежутку dt времени наблюдения. Знак «минус» означает, с увеличением числа распавшихся ядер общее число не распавшихся ядер уменьшается. Иными словами, dN<0 есть убыль числа исходных ядер. Коэффициент пропорциональности называются постоянной распада. Чтобы физически истолковать коэффициент λ, перепишем (1)

Из формулы (2) следует, что λ есть вероятность распада одного ядра из совокупности большого числа исходных ядер за единицы времени. Формула (1) является дифференциальной формой основного закона радиоактивного распада. Решая дифференциальное уравнение (1) относительно функции N(t) методом разделения переменных, получим закон в интегральной форме

Здесь N₀ - первоначальное число исходных ядер в момент начала наблюдения, принятый за t=0, N(t) - число оставшихся целыми ядер через некоторый промежуток времени наблюдения t.

Способность радиоактивного препарата к превращению характеризуется числом атомных ядер, распадающихся в нем за единицу времени:

Эту величину называют активностью. Она характеризует интенсивность излучения препарата в целом, а не отдельного ядра. Интенсивность радиоактивного распада характеризуется еще двумя величинами, которые также связаны с постоянной распада λ. Периодом полураспада T_1/2 называется время, за которое число радиоактивных ядер, взятых в очень большом количестве, уменьшается вдвое. Если за время t=T_1/2 число не распавшихся частиц становится равным N=0,5N₀, то из (3) можно получить соотношение

Среднее время жизни радиоактивного ядра в каком-либо образце определяется соотношением

В подынтегральное выражение поставим (3), применяем метод интегрирования по частям и находим связь среднего времени жизни и постоянной распада

Из формул (5) и (7) следует, что

Самопроизвольный процесс распада нестабильного ядра _ZX^A, в котором исходное ядро превращается в ядро - изобар _Z±1Y^A с испусканием электрона или позитрона, называется бета-распадом. Зарядовое число дочернего ядра отличается от заряда материнского ядра на единицу, а массовое число остается неизменным. Если бета-распад излучает электроны, то он называется электронным. Тогда схема распада имеет вид

Схема позитронного распада аналогична, но вместо символа электрона содержит символ позитрона:

В формулах отражен также тот факт, что бета-излучение сопровождается другим излучением, содержащее либо антинейтрино \( \overline{\nu} \), либо нейтрино v. Заметим, что формулы (1) и (2) и также формула (1) из раздела 12 называются правилами смещения по той причине, что символы дочерних ядер смещаются на другие клетки таблицы Менделеева.

Бета-распад является внутри нуклонным процессом, поскольку в процессе происходит превращение одного сорта нуклона в другой сорт. Этим отличается бета-распад от альфа-распада, где одно ядро непосредственно превращается в другое ядро. Следовательно, альфа-распад является внутри ядерным процессом. А схемы (1) и (2) бета-распада можно записать в виде ядерных реакций нейтрона в протон, или наоборот:

Таким образом, нестабильное ядро с избытком нейтрона (или протона) приближается к своей стабильной изобаре, испуская при этом электрон (или позитрон).

Энергия нуклона в результате ядерной реакции распределяется между тремя новыми частицами, при том энергия нейтрино (или антинейтрино) не дискретно, может принимать любое значение. Поэтому электрон (или позитрон) может излучаться с любым значением энергии, следовательно, спектр бета-распада должен быть непрерывным.

Примером β^- распада может служить распад радиоизотопа калия ₁₉K⁴⁰:

Приведем пример β⁺ - распада

В формулах (4) и (3) указано, что нейтрино (или антинейтрино) имеет массовое и зарядовое числа, равные нулю. Оно сопутствует электронному (или антиэлектронному) излучению. Обычно такие атрибуты символов элементарных частиц не указывают. Позитронный распад был впервые обнаружен в 1934 в радиоактивном распаде изотопа фосфора:

Нейтрино было предсказано Паули в связи с решением проблемы о законе сохранения энергии в бета-распадах. Оказалось, экспериментально трудно обнаружить эту частицу, но через долгие годы экспериментаторы все-таки обнаружили. Исходя из закона сохранения, нетрудно выразить энергетические эффекты этих процессов:

При некоторых обстоятельствах атомное ядро может поглотить один из электронов электронной оболочки атома, в результате исходное ядро превращается в ядро-изобару с испусканием электронное нейтрино:

Этот процесс является внутринуклонным, так как протон, поглощая электрон, превращается в нейтрон:

Как видно, при позитронном распаде и электронном захвате ядро претерпевает один и тот же процесс превращения протона в нейтрон. Поэтому оба эти процессы могут идти для одного и того же ядра и часто конкурируют друг с другом.

Энергетический эффект электронного захвата равен

Понятие ядерной реакции.

Ядерная реакция в узком смысле слова - это превращение атомных ядер, вызванное их взаимодействием с элементарными частицами, в том числе с γ - квантами, или друг с другом. Она возникает в результате сближения частиц до расстояний порядка 10^-15 м, на которых начинает появляться действие ядерных сил. В лабораторных условиях ядерные реакции осуществляются в основном при бомбардировке мишени из определенного вещества пучками быстрых частиц. В результате столкновения появляются новые частицы, перераспределяются энергии и импульсы частиц.

Наглядная запись ядерной реакции производится либо в развернутой форме

либо в свернутой форме

Здесь a,b - легкие частицы, первая частица налетает на материнское ядро X, другая вылетает в результате ядерной реакции. Кроме того, продуктом реакции будет дочернее ядро Y. Итак, столкновение исходных частиц X,a приводит к возникновению ядерной реакции в узком смысле, результате которой возникают конечные частицы Y,b - продукты реакции. Приведем примеры ядерных реакций. Развернутая запись (1) является наиболее универсальной, пригодной для записи ядерных реакций в широком смысле слова. В широком смысле ядерной реакцией называются любой процесс, начинающийся столкновением двух или более частиц. Мы рассматриваем лишь ядерные реакции в узком смысле.

Первая искусственная ядерная реакция была осуществлена Резерфордом в 1919 году, когда он зондировал внутренность атомов потоком быстрых α - частиц. Эта реакция имеет вид

Энергетический эффект Q реакции равен -1,193 МэВ, знак «минус» означает, что данная реакция осуществляется с поглощением энергии извне. Она называется эндотермической (или эндоэнергетической). Альфа-частицы, которые служат снарядом, испускались ядром Po²¹⁴ полония и имели энергию порядка 7,68 МэВ. В свернутой форме реакция запишется в виде

В скобках указано то, что характерно для данной реакции, α - частица налетает, а протон вылетает. Такого типа реакции называются (α,p) реакциями. Часто ядерную реакцию так и записывают в виде символа (a,b), указывая лишь легкие частицы и отпуская ядра.

Первая ядерная реакция, вызванная искусственно ускоренными частицами, имеет вид

Реакцию наблюдали создатели одного из первых ускорителей элементарных частиц Дж Кокрофт и Уолтон. Протоны, которые применялись в качестве снарядов, были ускорены до энергии 0,8 МэВ. Продуктами реакции были α - частицы с энергиями 8,5 МэВ и ядро обычного гелия. Энергетический эффект Q=+17,2 МэВ. Реакции с положительным энергетическим эффектом сопровождаются выделением тепловой энергии, такие реакции называются экзотермическими (или экзоэнергетическими). Реакция (5) относится к (p,α) - реакциям.

Известна «альфа - нейтронная реакция», которая имеет вид

В этой реакции впервые был открыт Чэдвиком нейтрон (1932 год). Она представляет также практический интерес, как источник нейтронного излучения.

Энергетический эффект равен разности суммарных масс исходных частиц и конечных продуктов реакции

Экзотермическая реакция (Q>0) сопровождается выделением тепловой энергии за счет уменьшения энергии покоя материнского ядра и может идти при любой кинетической энергии налетающей частицы, в случае заряженной налетающей частицы эта энергия должна быть достаточна для преодоления кулоновского барьера ядра.

Эндотермическая реакция (Q<0) может идти только при достаточно высокой кинетической энергии налетающей частицы, превышающей некоторое пороговое значение (T_α)_min. Эта энергия идет на увеличение энергии покоя материнского ядра. Значение минимальной кинетической энергии снаряда, достаточной для инициирования ядерной реакции, можно вычислить, исходя из законов сохранения энергии и импульса частиц. Формула для вычисления пороговой энергии имеет вид

Классификация ядерных реакций.

Ядерные реакции различают по длительности их протекания во времени. Частица, поглощенная ядром, возбуждает его и вызывает его внутреннюю перестройку, в результате выбрасывается вновь рожденная легкая частица и наступает устойчивое состояние нового ядра. Весь этот процесс происходит в течение некоторого промежутка времени.

Во-первых, если длительность взаимодействия превышает время пролета частицы через ядро, равное τ=10^-23 с, то реакция происходит с образованием промежуточного ядра. Такая реакция протекает в две стадии. Сначала образуется промежуточное ядро в возбужденном состоянии, затем из него выбрасывается новая частица и образуется дочернее ядро. Схема реакции имеет вид

В качестве примера приведем ядерную реакцию, где дейтрон налетает на ядро изотопа фтора

Во-вторых, если время взаимодействия оказывает порядка τ=10^-23, то взаимодействия частиц происходит без образования промежуточного составного ядра. Такая реакция называется прямой, или реакцией прямых ядерных взаимодействий. Примером может служить реакция

Реакции, которые вызываются быстрыми нуклонами и дейтронами, также протекают без образования промежуточного ядра.

В-третьих, если распад дочернего ядра происходит намного позже, то говорят об искусственной радиоактивности. Ее отличают от естественной радиоактивности, которая наблюдаются у ядер, существующих в природных условиях. Их рассмотрели мы выше. Между искусственной и естественной радиоактивности нет принципиального различия. В обоих случаях процесс радиоактивного превращения ядер происходит по общим законам.

Существует другая квалификация ядерных реакций в соответствии с природой бомбардирующих частиц, при помощи которых инициируется реакция. Снарядами служат альфа-частицы, протоны, нейтроны и γ - частицы. Реакции, вызванные налетом γ - частиц, идут под действием электромагнитного взаимодействия, но их относят к ядерным реакциям, так как они происходят в области ядер и приводят к его преобразованию. Взаимодействие нейтронов с ядрами составляют обширный и разнообразный класс ядерных реакций. Они не имеют электрического заряда, и поэтому из-за отсутствия кулоновского барьера они с малой кинетической энергией эффективно взаимодействуют с ядрами. Укажем некоторые виды взаимодействия нейтронов с ядрами:

радиационный захват нейтронов

реакции с образованием протонов

реакции с образованием α - частиц

и реакция деления ядер

Законы сохранения.

В физике ядерных реакций очень существенны законы сохранения. Каждый закон сохранения состоит в том, что определенная физическая величина должна быть одинаковой до и после столкновения. Тем самым требование сохранения всегда накладывает какие-то ограничения, или запреты на характеристики конечных продуктов ядерных реакций. Кроме четырех классических законов сохранения из механики, известны законы сохранения всех квантовых чисел, в том числе электрического заряда, лептонного заряда, барионного заряда и так далее.

Сечения и выходы ядерных реакций.

Ядерная реакция по своей природе имеет статистический характер, то есть подчиняется вероятностным закономерностям. Даже в том случае, когда энергетический эффект Q реакции оказывается положительным, нет стопроцентной гарантии того, что данная реакция произойдет. Если даже произойдет, то она необязательно осуществится тем путем, который однозначно был предсказан заранее до опыта. Результат может оказаться совсем другим. Различные способы, которыми при одних и тех одинаковых условиях осуществляется данная ядерная реакция, принято называть каналами реакции. При данном входном канале реакция может идти по различным выходным каналам:

Теория может предсказать возможные выходные каналы с различными вероятностями их наступления. Вероятность того, что данная ядерная реакция произойдет, характеризуется ее эффективным сечением.

Эффективное сечение σ есть воображаемый круг вокруг центра ядра-мишени, попадая в которой бомбардирующая частица-снаряд обязательно вызовет реакции. Если снаряд не попадает на эту площадку, то это означает, что в данных условиях реакция не произойдет.

Исходя из таких классических рассуждений о твердых ядрах-шариках, можно найти формулу для вероятности взаимодействия налетающей частицы с ядром мишени. Толщина мишени должна быть настолько тонка, что ядра мишени не перекрывают друг друга. Если все ядра имеют одинаковые поперечные сечения σ_я, то сумма всех сечений равна Σ=Nσ_я, она называется макроскопическим сечением. Общая площадь мишени равна S. Тогда, применяя определение геометрической вероятности, мы найдем:

Эта и есть вероятность столкновения налетающей частицы с одним из ядер тонкой мишени. Здесь n - концентрация ядер в мишени, то есть число ядер в единице объема мишени. Из формулы (17) ясно, что вероятность определена как относительная доля площади мишени, перекрытая ядрами с поперечным сечением σ_я=πr².

С другой стороны, пусть на мишень падает нормально к ее поверхности I частиц, пролетающих через некоторую поверхность в единицу времени. Такое количество частиц называется интенсивностью пучка падающих частиц. Тогда согласно классическому определению вероятность того, что налетающая частица в единицу столкнется с одним из ядер мишени, определяется формулой

Исходя из формул (17)-(18), находим число ΔN частиц, которые испытали столкновения с ядрами мишени в единицу времени

Отсюда находим поперечное сечение ядра

По аналогии с формулой (20), полученной из классических соображений о соударениях упругих твердых шариков-частиц, определяется эффективное сечение для данной ядерной реакции. Частицы падающего пучка и ядра мишени не являются твердыми шариками, и не каждое их столкновение приводит к ядерной реакции. Число ядерных реакций ΔN′, инициированных столкновениями частиц, очевидно меньше общего числа ΔN столкновений частиц падающего пучка с ядрами. Следовательно, вероятность появления одной ядерной реакции при падении на мишень данного пучка определяется формулой

где σ будет эффективным сечением для данной ядерной реакции. Это означает, что эффективное сечение ядерной реакции определяется формулой (20), где число ΔN столкновений упругих частиц заменяется числом ΔN′ частиц падающего пучка, взаимодействия которых с ядрами вызвали ядерные реакции:

Естественно, σ′ зависит от энергии падающей частицы. При расчете σ′ в случае толстой мишени должно учитываться ослабление интенсивности пучка частиц, проходящего через толщину мишени. Эффективное сечение любого процесса измеряется в барнах (б). 1б=10^-24см².

Непосредственно измеряемой в опыте величиной является выход реакции. Выходом ядерной реакции называется доля частиц пучка, испытавших ядерное взаимодействие частицами мишени

где ΔN″ - число частиц пучка, испытавших ядерное взаимодействие, N - общее число частиц пучка, проходящего через мишень. Рассмотрим пучок частиц, падающих на поверхности мишени толщины, равной единице длины l=1. Интенсивность наблюдаемого пучка равна

где - S площадь поперечного сечения пучка, которая проектируется на поверхность мишени, Δt - промежуток времени, в течение которого падают N частиц на мишень. Следовательно, ежесекундно на такую же площадь S мишени падает N=IS. Число частиц падающего на мишень пучка, которые в результате взаимодействия с ядрами вызвали ядерную реакцию, равен ΔN″=ISnσ″, где σ″ есть эффективное сечение реакции этих частиц.

Здесь N - число всех частиц пучка. Таким образом, определив выход реакции, можно вычислить эффективное сечение σ″ ядерных реакций, возникших в результате падения пучка на мишень с толщиной, равной единице длины l=1.

Открытие деления ядер под действием нейтронов связано с именем Ферми, который со своими сотрудниками пытался получить новые химические элементы путем облучения атомных ядер нейтронами. Они действительно получили новые радиоактивные ядра с различными периодами полураспада. Последующий радиохимический анализ показал, что продукты этих реакций являются известными химическими элементами из середины таблицы Менделеева. Оказалось, что возбужденное ядро урана или тория, которое получилось после захвата нейтрона, делится на две мелкие части почти одинаковой массы. Их называли осколками. Реакция деления урана может быть представлена уравнением

Реакцию деления атомных ядер можно вызвать, бомбардируя тяжелые ядра не только нейтронами, но и другими частицами: α - частицами, γ - частицами, дейтронами и протонами. Укажем реакцию, вызванную бомбардировкой ядра изотопа ₂₉Cu⁶³ меди протоном

Итак, деление ядра происходит в результате захвата налетающей частицы. Деление ядра связано с очень глубокой перестройкой ядра и по механизму осуществления сильно отличается других типов ядерных реакций. Интенсивность реакции деления зависит от энергии налетающих нейтронов и от сорта ядер. При реакции деления выделяется довольно большое количество энергии в форме кинетических энергий ядер - осколков и испускаемыми ими элементарных частиц: электронов, протонов, нейтрино и нейтронов. Испускание при делении ядер нескольких нейтронов делает возможным осуществление цепной реакции. Такая реакция обусловлена тем, что попадание в ядро нейтрона вызывает распад ядра с одновременным вылетом нескольких новых нейтронов, которые в свою очередь вызывают деления ядер урана, то есть следующий акт цепной реакции. При каждом акте деления выделяется энергия, равная примерно 200 МэВ. Процесс деления можно сделать самоподдерживающимся. Реакция деления атомных ядер под действием так называемых медленных нейтронов лежит в основе работы ядерных реакторов, в которых поддерживается управляемая цепная реакция деления, что делает возможным практическое применение ядерной энергии в производстве. Цепная реакция впервые была осуществлена Ферми и его сотрудниками в 1942 году. Управляемая цепная реакция деления практически осуществима на изотопах урана ₉₂U²³⁵,₉₂U²³³ и плутония ₉₄Pu²³⁹. Из них два последние изотопы получают в промышленном масштабе искусственным путем, а изотоп ₉₂U²³⁵ урана имеется в достаточном количестве в самой природе.

Другим видом ядерных реакций является слияние ядер. Оно возможно лишь тогда, когда эти частицы, преодолев кулоновское взаимодействие, сближаются на расстояние действия ядерных сил, порядка нескольких ферми. Наиболее важным и наиболее доступным процессом слияния ядер является дейтерий-тритиевая реакция

Для данной реакции наиболее низок кулоновский барьер и довольно велико эффективное сечение взаимодействия при малых энергиях. Реакция происходит с выделением огромной энергии, при которой достигается температура порядка T>10⁷K. Энергетический эффект реакции Q=+17,5 МэВ. Такие реакции, в которых из легчайших ядер синтезируются более тяжелые частицы с выделением огромной внутриядерной энергии, называются реакциями термоядерного синтеза, или просто термоядерными реакциями. Реакция (3) и другие подобные реакции синтеза осуществляются с огромной скоростью и сопровождаются сверхмощным взрывом. В этом смысле они не управляемы. Для использования энергии этих реакций в производственных целях необходимо придать им спокойный управляемый характер. Эта проблема называется проблемой управляемого термоядерного синтеза. Она усиленно разрабатывается во многих странах, но пока еще не осуществлена.

Понятие элементарной частицы.

Элементарными частицами условно называют большую группу мельчайших микрочастиц, не являющихся атомами или атомными ядрами (за исключением протонов - ядер атома водорода). Элементарные частицы являются специфическими формами материи, не ассоциированной в атомы и атомные ядра. В таком определении элементарных частиц мы отвлекаемся от классического смысла термина «элементарность», суть которого заключается в том, элементарная частица должна быть первичной и далее неделимой на более мелкие части. Допускается, что микрочастицы, которые мы относим к элементарным частицам, могут иметь сложную структуру, вследствие чего они могут быть нестабильными, способными делиться на составные части. А при столкновениях друг с другом могут исчезать, превращаясь в другие элементарные частицы, или оставаться самим собой, но при этом в результате столкновения кроме исходных частиц, могут рождаться дополнительно и еще новые частицы. Все эти известные экспериментальные факты делают непростой задачей определение сути элементарных частиц. Поэтому чтобы микрочастицы идентифицировались как элементарные частицы, необходимо принять особые критерии. В частности, в ядерной физике микрочастица X называется элементарной, если либо она не может быть раздроблена более мелкие частицы X_i(i=1,2,...), либо любая X_i из рождающихся при столкновении новых частиц не выполняется условие E_i≤m_ic². Элементарным частицам приписываются определенные значения массы, электрического заряда, спина и других физических характеристик, свойственных обычным частицам. Это позволяет достаточно надежно идентифицировать эти частицы в экспериментах. Нестабильные частицы еще отличаются друг от друга средним временем жизни. Кроме того, у элементарных частиц имеются свойства, описываемые особыми квантовыми числами, которые не применяются для характеристики обычных микрочастиц.

Любое столкновение элементарных частиц между собой относится к ядерным реакциям в широком смысле этого слова.

Главное свойство элементарных частиц - это их способность рождаться или превращаться друг в друга при столкновениях других частиц. Примером может служить следующая ядерная реакция

Здесь при столкновении двух протонов за счет избытка их кинетических энергий рождается новая частица π⁰ - нейтральный пи-мезон. Естественно, реакция произойдет только в том случае, если будут соблюдены все законы сохранения, о которых говорилось выше. Возможны взаимопревращения одних частиц в другие. Например, известна реакция, где происходит процесс поглощения и рождения элементарных частиц:

Здесь π⁺ - частица, названная пи-мезоном положительным. Заметим, что мы применили форму записи ядерной реакции, где указаны лишь обозначения частиц без дополнительных атрибутов.

История открытия элементарных частиц.

В 1897 году Дж. Дж. Томсон измерил отношение заряда электрона к его массе и высказал гипотезу о том, что электроны являются составными частями атомов. Последующие исследования утвердили гипотезу Томсона, так как они показали, что электроны легко выделяются из атомов любого химического элемента. Таким образом, 1897 год считается годом открытия первой элементарной частицы - электрона, и честь открытия его принадлежит Томсону.

После электрона был открыт фотон. Он был открыт благодаря экспериментальным работам, призванным подтвердить гипотезу Планка- Эйнштейна о световых квантах. Хотя световой квант сначала не считалась частицей, так как он не обладал главным свойством частицы - массой покоя, да и ещё при этом двигался во всех системах отчета с одинаковой скоростью, но благодаря последующим исследованиям квант возведен в ранг полноправной элементарной частицы и был назван фотоном.

Третьей открытой элементарной частицей является протон - ядро атома водорода, единственное атомное ядро, которое относится к элементарным частицам. Он был открыт Резерфордом в 1911 году, когда он проводил эксперименты по рассеянию потока α - частиц для зондирования внутренностей атомов.

В 1932 году был открыт нейтрон. Честь открытия нейтрона принадлежит Чэдвику, ученику Резерфорда. В 1930 году была обнаружена ядерная реакция, которая сопровождалась неизвестным до сих пор проникающим излучением. Через два года после этого Чэдвик доказал, что данное излучение состоит из частиц, предсказанных некогда его учителем Резерфордом. Тот, моделируя атомное ядро, высказал гипотезу о том, что ядро должно состоять из частиц двух сортов - протона и некоторой незаряженной частицы с массой, примерно равной массе протона. Частица была названа нейтроном.

В том же 1932 году была другая элементарная частица - позитрон. Позитрон был предсказан Дираком в его релятивисткой теории электрона (1931 г.), а через год был обнаружен Андерсоном в космических лучах - потоке высокоэнергетических частиц, попадающих в околоземное пространство из космоса. Он направил космические лучи в камеру Вильсона, помещенный в магнитном поле, и сфотографировал. В снимках был виден след частицы, точно такой же, как в случае электрона, но закрученный в противоположную сторону. Отсюда был высказано утверждение, что след принадлежит положительному электрону, то есть позитрону. В дальнейшем другими экспериментами было подтверждено открытие Андерсона.

В 1937 году в космических лучах Андерсон и Нейддермер обнаружили элементарные частицы, которые были названы μ - мезонами или мюонами. Сначала их отождествили с частицами Юкавы, связанными с ядерными силами, но дальнейшие исследования найденных частиц не подтвердили данного предположения. Оказалось, что эти частицы очень слабо взаимодействуют с веществом, следовательно, не могут быть частицами, предсказанными Юкавы в его мезонной теории ядерных сил. Частицы Юкавы были обнаружены в 1947 году группой Пауэлла и были названы π - мезонами или пионами.

В 1930 году Паули выдвинул гипотезу о том, что при β - распаде наряду с электроном вылетает еще какая-то неизвестная нейтральная частица, не регистрируемая детектором. Частица была названа нейтрино. Обнаружение нейтрино оказалось трудной задачей. Лишь в 1956 году нейтрино впервые зарегистрировано в ядерных столкновениях электронного антинейтрино с протоном

В дальнейшем было обнаружено множество элементарных частиц, но уже с помощью новейших методов исследования с применением мощных ускорителей частиц.

Взаимодействие элементарных частиц.

Каждая из элементарных частиц испытывает какое-то взаимодействие с любой другой частицей. Взаимодействия между ними распадаются на четыре вида, перечислим их в порядке убывания интенсивности взаимодействия: сильные взаимодействия, электромагнитные взаимодействия, слабые взаимодействия, гравитационные взаимодействия. Интенсивность взаимодействия элементарных частиц принято характеризовать константой взаимодействия. Данная константа безразмерна, определяет вероятность процессов, обусловленных данным видом взаимодействия. Указывают относительную интенсивность взаимодействий как отношений констант взаимодействий, выбирая шкалу относительно интенсивности сильного взаимодействия. Если по выбранной школе интенсивность сильного взаимодействия равна 10, то электромагнитное взаимодействие будет обладать интенсивностью 10^-2, слабое - 10^-14, а гравитационное взаимодействие - 10^-39. Кроме того, каждому виду взаимодействия характерно свойственное ему среднее время жизни распадающихся за его счет частиц.

Сильное взаимодействие обуславливает процессы, протекающие наиболее быстро по сравнению с другими процессами. Оно обеспечивает и самую сильную связь элементарных частиц. Оно отвечает за большую часть явлений ядерной физики. Сильным взаимодействием между нуклонами в ядре обеспечивается исключительная прочность ядер, лежащая в основе стабильности вещества в земных условиях. Радиус сильного взаимодействия ограничен размером ядра 10^-15м. Частицы, участвующие в сильных взаимодействиях, называют адронами.

Электромагнитное взаимодействие является классическим электродинамическим взаимодействием между электрически заряженными частицами. Процессы, связанные с электромагнитным взаимодействием, протекают значительно менее быстро, чем процессы, вызываемые сильным взаимодействием. Данное взаимодействие обеспечивает связь электронов в атомах, ионов в кристаллах, атомов в молекулах. Отвечает за обширную область явлений окружающей нас природы. Имеет бесконечный радиус действия.

Слабое взаимодействие вызывает очень медленно протекающие процессы с элементарными частицами. Это взаимодействие ответственно за все виды β - распада ядер, в том числе за e - захват, за многие распады элементарных частиц. Слабое взаимодействие ощущается всем частицами, кроме гравитона. Это единственное взаимодействие, где экспериментально обнаружено существование нейтрино, и оно отвечает за все процессы взаимодействия нейтрино с веществом. Слабое взаимодействие, является короткодействующим.

Гравитационное взаимодействие было открыто раньше остальных взаимодействий, потому что оно проявляется во взаимодействии тел огромных макроскопических размеров. Гравитационному взаимодействию подвержены все частицы, но эффекты гравитации во взаимодействиях элементарных частиц пренебрежимо малы, или вообще не обнаружены. Поэтому в настоящее время гравитационное взаимодействие не учитывается в теории элементарных частиц. Им занимается общая теория относительности, где рассматриваются вопросы космологии.

Взаимодействия элементарных частиц носит полевой или обменный характер. Они взаимодействуют между собой через особые поля, обмениваясь между собой частицами этих полей. Например, давно принято, что взаимодействие зарядов осуществляется электромагнитным полем Максвелла-Лоренца. Квантом этого поля является фотон. Вначале он истосковался как частица световой волны. По современным представлениям он интерпретируется, как частица-переносчик электромагнитного взаимодействия. Подобные частицы-переносчики существуют и для других взаимодействий. Таковыми для слабого взаимодействия считаются так называемые промежуточные векторные бозоны: W^±-,Z⁰-бозоны. Векторные бозоны были открыты в семидесятых годах XX века. Для гравитационного взаимодействия частицы-переносчики не обнаружены. Гипотетически таковыми считаются частицы гравитационной волны - гравитоны.

В случае сильного взаимодействия элементарных частиц была высказана гипотеза о квантах ядерного поля взаимодействия. Японский физик Юкава предположил, что сильное взаимодействие между двумя нуклонами осуществляется посредством квантованного поля ядерных сил, подобно тому, как взаимодействие двух зарядов переносится фотоном - квантом электромагнитного поля. Согласно идеям Юкавы нуклон может постоянно излучать и снова поглощать кванты ядерного поля. Эти частицы были названы мезонами, то есть по своей массе средними частицами между электроном и протоном. Действительно, как мы уже знаем, частицы Юкавы (π - мезоны) были открыты, но дальнейшее развитие квантовой теории сильного взаимодействия показали, что эти частицы не являются прямыми переносчиками сильного взаимодействия. Дело заключается в том, что адроны имеют сложную внутреннюю структуру, и частицами-переносчиками сильного взаимодействия между элементарными частицами являются не частицы Юкавы, а так называемые глюоны. По современным представлениям сильное взаимодействие непосредственно осуществляется между составными частями адронов - кварками - с помощью глюонов.

Классификация элементарных частиц.

Во-первых, частицы различаются на бозоны и фермионы в зависимости от того, какому виду квантовой статистике они принадлежат. Частицы, обладающие нулевым или целочисленным спином, подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и называются бозонами. Частицы с полуцелым спином подчиняются статистике Ферми-Эйнштейна и называются фермионами. Во-вторых, по среднему времени жизни частицы бывают стабильными или нестабильными. Также различают частицы и квазичастицы, они могут быть стабильными или квазистабильными. Каждой частице соответствует своя античастица, которая может отличаться от первой знаком заряда. Любая другая классификация элементарных частиц в некоторой степени является условной, так как количество свойств элементарных частиц много, каждое из которых в отдельных условиях может оказаться главенствующим.

В общепринятой классификации элементарных частиц приняты за основные признаки их масса и в некоторой степени типы взаимодействий, в которых участвуют частицы. По этой классификации совокупность частиц группируются по семействам. Первая группа - это семейство частиц - переносчиков взаимодействий. В этой группе входят фотоны (γ - квант), промежуточные векторные бозоны, глюоны и гравитоны. Эти частицы обеспечивают различные виды взаимодействия между частицами. Они имеют целочисленные спины. Поэтому группу отмечают как семейство бозонов. Фотоны и векторные бозоны экспериментально обнаружены. Вначале в этой группе только входил только фотон. Затем по мере развития теории были включены и остальные частицы.

Фотон электрически нейтрален, не имеет массы покоя. Он стабилен, живет до тех пор, пока не вступит во взаимодействие с другой частицей. Участвует в электромагнитных взаимодействиях, но не обладает сильными и слабыми взаимодействиями.

Вторую группу - семейство лептонов образуют легчайшие фермионы - электрон e^-, позитрон e⁺, положительные и отрицательные мюоны (μ^± - мезон), тяжелые лептоны τ^± (таоны), электронное v_e, мезонное μ_μ и таонное v_τ нейтрино. Каждой частице X соответствует античастица \( \tilde{X} \). Лептоны не подвержены сильным взаимодействиям, участвуют в процессах слабого взаимодействия. Все заряженные лептоны обладают электромагнитным взаимодействием. Лептоны считаются истинно элементарными частицами, так как у них не обнаружена внутренняя структура.

Лептоны идентифицируются особым квантовым числом - лептонным числом, равным единице (L=1). Лептонное число антилептонов равно минус единице (L=-1). Для всех частиц, которые не входит в группу лептонов, лептонное число равно нулю (L=0). Величину L называют также лептонным зарядом, и для него имеет место закон сохранения заряда, притом для каждого лептона в отдельности. Поэтому различают электронное L′, мюонное L″ и таонное L‴ лептонные числа.

Следующую группу образуют адроны - частицы, участвующие в сильных взаимодействиях. Адроны различаются на стабильные и квазистабильные адроны. Они, как правило, участвуют также и во всех других взаимодействиях - электромагнитном и слабом. Стабильные адроны подразделяются на мезоны и барионы.

Мезонами называются нестабильные заряженные или нейтральные адроны, обладающие нулевым или целочисленным спином. Мезонам относятся нейтральный пион π⁰(π⁰ - мезон), заряженные пионы π^± и K^± - мезоны. Раньше объединяющим признаком мезонов являлось то, что их массы имели значения, промежуточные между массами электрона и нуклона. Позднее были открыты еще другие частицы, которые относятся к мезонам, их называют тяжелыми мезонами, поскольку их масса больше массы нуклона. Имеют сложную внутреннюю структуру, поэтому не могут быть элементарными частицами в классическом смысле этого слова. Мезоны нестабильны, распадаются на лептоны в слабых взаимодействиях. У мезонов нет особого квантового числа, идентифицирующего их от других семейств, для них лептонные и барионные заряды равны нулю.

Барионами называются адроны с полуцелым спином и массами, не меньшими массы протона. Семейство барионов объединяет в себе нуклоны (p⁺,n⁰) и нестабильные частицы с массой, большей массы нуклонов, получившие название гиперонов (Λ⁰,Σ^±,Σ⁰,Ξ⁰,Ξ^-,Ω^-). Из барионов стабильной частицей считается протон, а все остальные барионы нестабильны. Барионы идентифицируются особым квантовым числом - барионным числом или зарядом B, которое может принимать, как и лептонный заряд, одно из трех возможных значений. Для барионов B=1, для антибарионов B=-1, для всех остальных частиц B=0. Имеет место закон сохранения барионного заряда, поэтому при распаде бариона, наряду с другими частицами, обязательно образуется барион.

Кроме перечисленных выше частиц существует большое количество тяжелых, сильно взаимодействующих и короткоживущих частиц. Это частицы называют резонансами. Существуют мюонные и барионные резонансы. Они могут быть фермионами и бозонами. В некоторой степени частицу-резонанс можно представить как некоторое промежуточное состояние составной частицы, которое в течение ядерного времени порядка 10^-23 секунд распадается на новые частицы. Иногда попадают долгоживущие частицы-резонансы со временем жизни порядка 10^-10 с. Например, Ω^- - гиперон. Резонансы сильно взаимодействуют друг с другом и более стабильными мезонами и барионами.

По данной классификации основных элементарных частиц составляют таблицы, в которых более детально характеризуют каждую частицу. В частности указывают обозначения частиц, массу, среднее время жизни, основные схемы (каналы) распада и совокупность квантовых чисел.

Квантовые числа элементарных частиц.

Квантовыми числами элементарных частиц являются масса покоя, электрический заряд, спин и магнитный дипольный момент, тип статистики, изоспин, барионное и лептонное число, странность, четность, гиперзаряд.

По самой своей природы элементарные частицы представляют собой локализованные в пространстве сгустки энергии, и их масса неразрывно связана с их полной энергией. Эта связь установлена Эйнштейном в теории относительности и имеет вид

Величину m, как правило, называют релятивисткой массой частицы в отличие от классического понятия массы покоя m₀. Энергия покоя частицы определяется величиной E₀=m₀c². Почти все элементарные частицы обладают массой покоя, которую принято выражать в МэВ. Однако имеются частицы, которые никогда не могут находиться в состояния покоя, и их масса покоя равна нулю. Например, фотон или нейтрино.

Милликен определил значение электрического заряда электрона, тем самым установил закон кратности электрического заряда атомных частиц заряду электрона. Согласно этому закону положительные или отрицательные заряды, которыми обладают атомы, ядра, элементарные частицы являются равными нулю или целыми кратными элементарному заряду - абсолютной величине заряда электрона. Однако с развитием теории элементарных частиц выдвинута гипотеза о существовании кварков - частиц с дробными значениями заряда. Заряды атомных ядер, элементарных частиц принято измерять в единицах элементарного заряда.

Впервые предположение о существование собственного (спинового) механического и магнитного моментов было высказано относительно электрона. В частности оно было применено Уленбеком и Гаудсмитом для объяснения тонкой структуры атомных спектров. Эти моменты определяются особым квантовым числом «спин» или спиновым квантовым числом s, равным для электрона 1/2. В дальнейшем был обнаружено, что имеются и другие частицы, спиновое квантовое число которых равно полуцелому значению. Такие частицы принято называть фермионами, а тип статистики, которому они подчиняются, носит называние статистики Ферми-Дирака. Суть статистики заключается в следующем. В квантовых системах, состоящих из многих частиц, имеет место принцип запрета Паули, сформулированный им в случае многоэлектронных атомов. С математической точки зрения это означает, что волновые функции, с помощью которой с некоторой вероятностью можно описать любое свойство частиц, для фермионов должны быть антисимметричными, то есть менять знаки при попарной перестановке координат двух частиц в системе. Имеет другой тип квантовой статистики - статистика Бозе-Эйнштейна. Этому типу подчиняются частицы, которых спиновые квантовые числа имеют нулевые или целочисленные значения. Таковыми, например, являются фотоны и другие частицы-переносчики взаимодействий.

Сильное взаимодействие не зависит от заряда нуклонов. Ядерные силы, действующие между двумя протонами, протоном и нейтроном и двумя нейтронами имеют одинаковую величину. Это свойство называется зарядовой независимостью ядерных сил. Оно обуславливает того, что протон и нейтрон обнаруживают гораздо больше сходства, чем различий. У них массы близки, спиновые квантовые числа имеют равные значения, в сильных взаимодействиях участвуют равным образом. Это дает основание рассматривать протон и нейтрон как два различных состояния одной и той же частицы - нуклона. Разное состояние нуклона идентифицируется особым квантовым числом - проекцией T_Z изотопического спина T на избранную ось Z абстрактного (воображаемого) так называемого изотопического пространства. Частицы, отмеченные данным T, образуют зарядовый мультиплет. Принято считать, что для протона T_Z=1/2, а для нейтрона T_Z=-1/2. Нуклон является зарядовым дублетом, для которого изотопический спин равен T=1/2. Число составляющих мультиплета равен 2T+1, в частности для нуклона равно 2.

Другие элементарные частицы также можно объединять в зарядовые мультиплеты. Например, пионы (π - мезоны) образуют зарядовый триплет. Для пиона T=1, число составляющих равно 2T+1=3. Значения проекций изотопического спина T_Z равны +1, 0, -1 для положительного пиона (π⁺), нейтрального пиона (π⁰) и отрицательно пиона (π^-) соответственно.

В зарядовый мультиплет объединяются частицы, отличающиеся только величиной или знаком электрического заряда, а все остальные величины, характеризующие частицы (кроме масс), должны быть одинаковыми.

О квантовых числах - лептонных и барионных зарядах мы говорили выше. Каждое из этих чисел равно нулю для каждой частицы, не принадлежащей к соответствующему семейству.

Во второй половины XX века стали известны так называемые странные частицы. К ним относятся K - мезоны (каоны) и Λ-,Σ-,Ξ-гипероны. «Странность» этих частиц заключаются в том, что они рождаются в сильных взаимодействиях, но распадаются в результате слабого взаимодействия. Для их характеристики было введено новое квантовое число S, суммарное значение которого должно сохраняться при сильных взаимодействиях. Квантовое число S может не сохраняться в слабых взаимодействиях. Оно связано с барионным зарядом частицы и со средним электрическим зарядом <Q> частиц, образующих зарядовый мультиплет соотношением

Средний заряд <Q> для многих мультиплетов оказывается полуцелым. Чтобы не иметь дело с дробными числами, было введено целое квантовое число - гиперзаряд

Отсюда имеем

Гиперзаряд сохраняется в сильных и электромагнитных взаимодействиях и может не сохраняться в слабых взаимодействиях.

Элементарная частица, как любая другая микрочастица, характеризуется квантовомеханической величиной - четностью. Не останавливаясь на определение четности, скажем лишь о том, что квантовое число четность P сохраняется во всех взаимодействиях, кроме слабого взаимодействия.

В семидесятых годах XX открыты были предсказаны и открыты новые частицы - мезоны, во внутреннюю структуру которых входят кварки, названные «очарованными» и «прелестными». Эти открытия новых мезонов было триумфом кварковой модели элементарных частиц.

Кварки.

Анализ экспериментальных данных приводит к мысли, что каждая из сильно взаимодействующих частиц характеризуется тремя независимыми аддитивными квантовыми числами: электрическим зарядом Q, гиперзарядом Y и барионным зарядом B. На основе этого вывода была выдвинута гипотеза о кварковой модели адронов, согласно которой все адроны построены из более фундаментальных частиц. Эти частицы были и названы кварками. Им приписываются дробные квантовые числа: дробный электрический заряд Q, дробный барионный заряд B, дробное спиновое число s и так далее. Каждому кварку приписывается одинаковый магнитный момент, притом он равен магнитному моменту протона

Кварки являются фермионами, то есть имеют спин, равный 1/2, и должны удовлетворять принципу запрета Паули.

Кварки отличаются друг друга цветом и ароматом. В первом деле их отличают ароматом, а затем кварки, имеющие одинаковый аромат, различают цветом. Каждый кварк с определенным ароматом может существовать в трех «окрашенных» формах: красный, зеленый, голубой. Смесь этих цветов дает «нулевой» белый цвет. Цвет кварка выражает различия в свойстве, определяющем взаимное притяжение и отталкивание кварков.

Ароматом (или типом) называется конкретная совокупность квантовых чисел, характеризующих кварковое состояние. Известны шесть ароматов: u,d,s,c,b,τ. Их так и называют: u-кварк, d-кварк, s-кварк, c-кварк, b-кварк, τ-кварк. Кроме кварков имеются антикварки: \( \tilde{u} \)-антикварк, \( \tilde{d} \)-антикварк, \( \tilde{s} \)-антикварк и так далее. Определения отдельных кварков даны в таблице:

Q,B,T,T_Z,S,C - совокупность квантовых чисел электрического заряда, барионного заряда, изопина, проекции изоспина, странности, очарования. I,P - момент и четность кварка. Отметим, что электрические и барионные заряды являются дробными. Каждый кварк характеризуется одним из трех цветов (R,G,B), а антикварки - антицветами \( (\tilde{R},\tilde{G},\tilde{B}) \). Каждый антицвет является дополнительным к своему цвету, так что комбинации \( R\tilde{R},G\tilde{G},B\tilde{B} \) считаются белыми.

Переносчиками взаимодействия между кварками являются частицы, названные глюонами. Глюоны - частицы со спином 1 и нулевой массой покоя. Предполагается существование восьми глюонов, обладающих характеристикой «цвет». Обмен глюонами между кварками меняет их цвет, но оставляет все остальные квантовые числа неизменными, то есть сохраняет аромат кварка. Сочетание цветов кварков в адронах должно быть таким, чтобы средний цвет адрона был нулевым (белым).

Гипотеза кварков оказалась довольно плодотворной. Она позволила не только систематизировать уже известные частицы, но предсказать существование новых частиц. Так были предсказаны и открыты очарованные частицы и Ω-гипероны. Успешная классификация адронов на основе кварковой модели была веским аргументом в ее пользу. Кварковая модель предполагает, что кварки существуют внутри адронов, но вылетать отсюда и появиться в свободном состоянии они не могут.

Диаграммы симметрии и внутренняя структура адронов.

Адроны имеют сложную структуру и состоят из трех кварков или пары кварк-антикварк. Для построения их внутренней структуры воспользуемся первыми тремя кварками и их антикварками. Сначала для u-,d-,s- кварков построим треугольные диаграммы симметрии, а затем - для антикварков. Диаграмма для кварков связана с тремя осями - осью проекции изоспина T_Z(ордината), осью гиперзаряда Y=2<Q>(абсцисса) и третья ось Q - ось электрического заряда. Естественно, выбор ординаты и абсциссы произволен, но такой выбор более удобен. В таком расположении осей одна вершина треугольники лежит на оси Y налево от нуля, две вершины симметрично будут лежать относительно оси Y направо от нуля. Вершины треугольника представляют кварки или антикварки. Верхняя вершина (+1/3,+1/2,+2/3) на положительной полуплоскости изображает верхний кварк (u-кварк), нижняя вершина (+1/3,-1/2,-1/3) на отрицательной полуплоскости означает нижний кварк (d-кварк). Боковая вершина (-1/3,0,-1/3), которая лежит на оси Y, есть странный (боковой) кварк (s-кварк). Треугольная диаграмма для антикварков является перевернутой относительно осей координат Y и T_Z (рис.11).

рис. 11

Диаграммы для адронов - мезонов и барионов - строятся в виде шестиугольника, содержащего три диаграммы кварков и три диаграммы антикварков (рис.12). В левой части шестиугольника лежат две диаграммы для кварков и одна, средняя, диаграмма для антикварков. В правой части две диаграммы относятся к антикваркам, а средняя диаграмма - к кваркам. Вершины средних диаграмм обращены к центру шестиугольника, а вершины других совпадают с вершинами многоугольника. Их координаты (Y,T_Z,Q) указаны в рисунках. Центр и вершины шестиугольника изображают адроны, притом структуры мезонов и барионов определяются по разным правилам.

рис. 12

Для определения структуры барионов используются три треугольные диаграммы для кварков, которые отмечены отрезками, лежащими внутри треугольников. По оси T_Z в краях и в центре лежат компоненты (Σ⁺,Σ⁰,Σ^-) изоспинового триплета. На параллельных сторонах, расположенных симметрично оси T_Z, лежат дублеты (p⁺,n⁰) и (Ξ⁺,Ξ^-). Расположения частиц, естественно, определяются по их квантовым характеристикам Y,T_Z,Q.

Дублет из протона и нейтрона лежит внешней стороне правой диаграммы кварков. Их внутренняя структура определяется следующему правилу: кварк, который лежит в той же вершине, что и сама частица, входит в структуру частицы дважды, а кварк, лежащий в другой вершине, один раз. Таким образом, имеем

Аналогично определяется структуры компонент левого дублета:

Здесь заметим, что кварки, входящие в состав частиц, лежат на концах внешней стороне соответствующего треугольника, которая одновременно является внешней стороной шестиугольника.

Структуры верхних и нижних компонент изоспинового триплета определяются по тому же правилу

Средняя компонента, лежащая в центре шестиугольника, содержит все три кварки, которые изображены вершинами трех треугольных диаграмм для кварков:

Как видно из формул (3-6), все странные частицы содержат странный кварк. Их называют гиперонами. Кроме них имеется еще одна частица - Λ⁰ - гиперон. Она является изоспиновым синглетом и лежит в центре диаграммы. В ее структуру входят те же три кварка

Группу рассмотренных восьми элементарных, связанных диаграммой симметрии (12), называют главным барионным октетом.

Теперь рассмотрим структуру мезонов (рис. 13).

рис. 13

Каждый мезон состоит из пары «кварк - антикварк». Для определения их структур применяются все шесть диаграмм для кварков и антикварков, на которые разделен шестиугольник. В этом случае каждой вершине шестиугольника примыкают кварк и антикварк, которые и составляют внутреннюю структуру той частицы, изображенной данной вершиной шестиугольника. Например, рассмотрим K⁺ - гиперон. К вершине, в которой лежит частица K⁺, примыкают u-кварк и \( \tilde{s} \)-кварк. Следовательно, имеем

Аналогично получим структуру других странных мезонов:

Верхний и нижний составляющие изоспинового триплета имеют структуру

Несколько по-другому определяют структуру средней компоненты:

Кроме того, еще имеется изоспиновый синглет

Итак, мы рассмотрели восемь элементарных частиц, образующих главный октет мезонов.

Как мы видим, на диаграммах симметрии наглядно отражаются кварковые структуры адронов и их зарядовые изоспиновые мультиплеты.

Заметим, что мы ограничились узкой системой кварков, что было достаточно для систематизации известных тогда элементарных частиц. Однако в дальнейшем были обнаружены и другие частицы, например, так называемые резонансы, обнаруженные в космических лучах и на мощных ускорителях. Были открыты странные, очарованные мезоны, красивые мезоны и барионы. Для их систематизации пришлось расширить систему кварков до шести.

Понятие об ускорителях.

Специальные установки, с помощью которых получают в лабораторных условиях направленные пучки заряженных частиц (электронов, протонов, атомных ядер и ионов легких элементов), обладающих весьма большой кинетической энергий, называются ускорителями заряженных частиц. В ускорителях получают пучки заряженных частиц от нескольких МэВ до нескольких сотен ГэВ. Так имеются ускорители, которые сообщают заряженным частицам кинетическую энергию до 400 ГэВ. Пучки заряженных частиц высоких энергии применяются в научных исследованиях в различных областях науки и техники. В частности, они необходимы для изучения строения атомных ядер, для исследования структуры элементарных частиц и их взаимодействия. С помошью ускорителей наблюдают искуственную радиоактивность, их применяют в медицине и биологии. Теория самых ускорителей является предметом технической физики электромагнитных явлений.

Ускоритель заряженных частиц - это устройство для получения заряженных частиц высоких энергий с помощью их ускорения в электрическом поле. Основными характеристиками ускорителя являются энергия и количество ускоренных частиц в выходящем из него пучке. По принципу действия ускорители разделяются на два класса: ускорители прямого действия (или высоковольтные), и многократного действия. В ускорителях прямого действия частицы разгоняются в вакууме под действием электростатического поля, создаваемого постоянной разностью потенциалов. В ускорителях многкратного действия частицы разгоняются переменными электрическими полями.

Все ускорители подразделяются на непрерывные и импульсные. Непрерывные ускорители (или ускорители непрерывного действия) создают равномерные во времени пучки. Из импульсного ускорителя частица частицы вылетают порциями-импульсами. Ускорители непрерывного действия дают более плотные пучки, а импульсные - более высокие энергии.

В зависимости от характера электрического поля, с помощью которого ускоряются частицы, ускорители бывают индукционными и резонансными. В индукционных ускорителях частицы ускоряются вихревым электрическим полем. В резонансных ускорителях ускорение частиц производится высокочастотным электрическим полем, и частицы движутся в резонансе с изменением этого поля.

Ускорители многократного действия делятся на линейные и циклические в зависимости от формы траектории ускоряемых частиц. В линейных ускорителях частицы движутся по прямой линии, а в циклических - по окружности и спиралям.

Основным типом ускорителя прямого действия является генератор Ван-де-Граафа, работающий в непрерывном режиме.

К циклическим ускорителям относятся циклотрон и его усовершенствованные варианты: фазотрон, синхротрон, синхрофазотрон, изохронный циклотрон. К циклическим ускорителям также относятся бетатрон и микротрон.

В большинстве ускорителей получают пучки ускоренных протонов и электронов. Есть ускорители, в которых получают пучки дейтронов и альфа-частиц, многократно заряженных ионов углерода, азота, кислорода и других.

Принцип действия любого ускорителя можно объяснить тем, что в ускорителях на частицу действуют электрические и магнитные поля. Если частица, обладающая зарядом q, движется в пространстве, где имеются электрическое поле с напряженностью \( \vec{E} \) и магнитное поле с индукцией \( \vec{B} \) то на нее действует сила Лоренца, и уравнение движения частицы имеет вид  

Отсюда следует, что увеличение кинетической энергии, то есть ее ускорение происходит под действием электрического поля

где v - скорость движения положительных частиц, то есть направление тока совпадает с направлением скорости \( \vec{v} \). Как видно, магнитное поле не ускоряет заряженную частицу. Радиус кривизны траектории движения частицы в магнитном поле, где сила Лоренца играет роль центростремительной силы, определяется формулой

В кругообразном движении заряженных частиц в магнитном поле период обращения равен

А частота (число оборотов за 2π секунд) равна

Для данного типа частиц и период, и частота зависят только от индукции магнитного поля.

Резонансный ускоритель. Циклотрон.

Независимость частоты обращегия в манитном поле от энергии частиц используют для устройства ускорителя заряженных частиц - циклотрона. Он предназначен для ускорения тяжелых частиц (ионов) без применения высокого напряжения.

Циклотрон является циклическим резонансным ускорителем. В нем во все время остаются постоянными и управляющее магнитное поле, и частота ускоряющего электрического поля. Циклотрон является первым циклическим ускоритетелем, был построен американским физиком Э. Лоуренсом (1931). Принцип его действия можно объяснить следующей схемой.

Циклотрон состоит из двух металлических дуантов M и N, представляющих две половины невысоко тонкостенной цилиндрической коробки, разделенные узкой щелью (зазором). Дуанты помещаются в плоскую замкнутую камеру, помещенную между полюсами сильного электромагнита. С помощью электродов m и n дуанты присоединяются к полюсам электрического генератора, который создает переменное электрическое поле в зазоре между ними. Электрическое напряжение подается от высокочастотного генератора с частотой, определяемой формулой (3). Источником положительных ионов служит газовый разряд (дуга) низкого давления, находящийся в центре циклотрона между анодом и катодом. В дуантах поддерживается давление в 10^-4-10^-5 мм ртутного столба, в центре щели, где горит дуга, давление в 100 раз выше. Непрерывная откачка воздуха создает высокий вакуум в камере A, что уменьшает вероятность торможения ионов из-за столкновения с молекулами воздуха.

Принцип действия циклотрона таков. Из источника вводится положительный ион в тот момент времени, когда электрическое поле между дуантами максимально и направлено снизу вверх от дуанта N к дуанту M (см. рисунок). Под действием электрического поля ион начнет равноускоренно перемещаться в плоскости чертежа сверху вниз, то есть от дуанта N в дуант M. Как только ион войдет в дуант M, ускоряющее действие электрического поля прекратится. Так как металлическая стенка дуанта практически полностью экранируют его внутренюю полость от электрического поля в зазоре. Внутри дуанта M ион под действием магнитного поля опишет полуокружность, радиус которой можно определить формулой (3). В момент времени, когда ион, завершая свое спиральное движение в дуанте M, подойдет к зазору, направление электрического поля должно измениться на противоположное первоначальному. Тогда электрическое поле снова будет ускорять движение иона в зазоре. Затем ион попадет во второй дуант N, внутри которого опишет полуокружность, но уже большего радиуса, соответствующего возросшей скорости. К моменту вылета иона из дуанта N в зазор электрическое поле вновь изменит свое направление и будет ускорять движение иона. Ион с новой энергией окажется в первом дуанте M, и цикл описанных выше действий будет повторяться. Будет осуществлено многократное ускорение иона электрическим полем, в результате которого его кинетическая энергия может стать очень большой. На последнем витке спирали включается отклоняющее электрическое поле, выводящее пучок наружу.

Индукционный ускоритель. Бетатрон.

В 1941 году американским физиком Д. Крестом был спроектирован ускоритель, названный бетатроном. Он был предназначен специально для ускорения электронов, где они достигали энергии порядка 1 - 50 МэВ.

Бетатрон - ускоритель индукционного типа. В нем необходимое для ускорения частиц электрическое поле не поддается извне, а создается в самом бетатроне. Средний ток, создаваемый этим полем, не превышает 10^-2мкА при количестве частиц порядка 10⁹-10¹⁰ в импульсе.

В бетатроне создается аксиально-симметричное магнитное поле, которое удерживает частицы на круговой орбите. Если магнитное поле быстро изменяется, то по закону электромагнитной индукции Фарадея в соответствии с первым уравнением Максвелла

появится электрическое поле \( \vec{E} \), силовые линии которого имеют вид концентрических окружностей. Напряженность получающегося вихревого электрического поля будет направлено по касательной к круговой траектории. По абсолютному значению она равна:

где \( \overline{B} \) - среднее значение индукции манитного поля внутри круговой орбиты, величина

есть магнитный поток, который пронизывает площадь, ограниченную круговой траекторией электрона.

Необходимо добиться, чтобы радиус r электронной орбиты оставался постоянным во времени, то есть нужно магнитному потоку придать такую конфигурацию, чтоб среднее значение \( \overline{B} \) индукции магнитного поля по площади, ограничиваемой круговой орбитой, было два раза больше индукции поля на орбите, то есть выполнялось следующее условие:

где B - индукция поля на орбите с радиусом r, определяемым формулой (3). Соотношение (9) явлется условием стабильности электронной орбиты в бетатроне, называется условием Видероэ. Оно лежит в основу устройства и действия бетатрона.

Бетатрон содержит вакуумную стеклянную камеру для ускорения электронов в форме замкнутого кольца (бублика), которая имеет источник электронов, смонтированный между полюсами мощного электромагнита. Полюсам магнита придают коническую форму, чтобы между ними образовалась бочкообразная форма магнитных силовых линий. Такая форма обеспечивает устойчивость движения электронов по стационарной орбите в вертикальном направлении и ускоряет движение электронов. После того как электрон прокрутится много раз на орбите и получит нужную энергию, изменяют магнитное поле, тем самым направляют поток электронов на специальную мишень, расположенную в камере, и выбивают из него фотоны больших энергий. Из бетатрона практически не возможен вывод пучков электронов, его часто используют для получения гамма - квантов высоких энергий.

Метод автофазировки. Фазотрон.

Одним из основных недостатков описанных выше ускорителей заключается в том, что в них ускоряют частицы только до нерелятивистких энергий. Так в классических циклотронах чрезмерное увеличение энергии ускоряемых частиц приводит к десинхронизации колебаний электрического поля между дуантами с обращением частицы по окружности, то есть к нарушению режима резонансного ускорения

Чтобы соблюдать условие синхронности, необходимо ограничиться некоторым предельным значением кинетической энергии ускоряемых частиц. Так в циклотроне нельзя ускорять электроны, поскольку они быстро достигают релятивистских скоростей, и начинает сказываться изменение массы частицы в зависимости от ее скорости на условии (10). И процесс непрерывного ускорения становится невозможным.

Однако было найдено условие, при соблюдении которого циклотронный принцип ускорения частиц становится пригодным и для релятивиских энергий. Это условие получило название принципа автофазировки. Для его осуществления резонансное ускорение частиц производят при помощи переменного электрического поля, частота которого очень меделенно меняется со временем. Изменение частоты во времени подбирается таким образом, чтобы период T одного оборота частицы по круговой орбите определялась в соответствии с формулой

где m,Ze,v - масса, заряд и скорость ускоряемой частицы. При каждом значении частоты резонансного поля ускорение происходит только на орбите определенного радиуса. Частицы, получившие каким-то способом предварительное ускорение, попадают в ускорительную камеру из предускорителя (инжектора) с различными скоростями. Естественно, эти скорости мало отличаются, но одни частицы перемещаются быстрее, а другие - медленнее. Если это частицы проходят ускоряющее поле в момент его нарастания, то в поле начинают действовать силы, которые операжающие частицы тормозят, а остающие, наоборот, ускоряют. По этой причине заряженные частицы движутся в среднем синхронно с изменением электрического поля. Это явление и называется автофазировкой (или принципом автофазировки). Сушествование такого явления в ускорителях с переменными электрическими полями впервые доказали советский физик В. И. Векслер (1944 г.) и независимо от него американский физик Е. Мак-Миллан (1945 г.). Из принципа автофазировки следует, что при достаточно медленном увеличении периода колебаний электрического поля соответственно возрастает период T обращения заряженных частиц в ускорителе. А это, как видно из формулы (11), может происходить только за счет увеличения скорости частиц. Следовательно, происходит нарастание среднего значеняе энергии ускоряемых частиц, несмотря на релятивисткое изменение массы.

Открытие принципа автофазировки показало принципиальную возможность ускорять частицы, движущиеся с большими скоростями. Первым таким ускорителем, спроектированным на основе этого принципа, явилось устройство, названное фазотроном. Его часто называют синхроциклотроном. Фазотрон - это циклический резонансный ускоритель с постоянным во времени управляющим магнитным полем и переменной частотой ускоряющего электрического поля. Ускоряемые ионы вводятся в фазотрон в тот момент, когда частота переменного электрического поля максимальна и равна частоте обращения в магнитном поле заряженной частицы, энергия которой мала. В фазотроне ускоряемая частица раскручивается по спирали, начиная от центра к периферии, во всем объеме ускоряющей камеры. При минимальной частоте колебаний электрического поля энергия частиц становится наибольшей, и они с помощью специальных устройств выводятся из фазотрона. Получается пульсирующий пучок частиц большой энергии.

Фазотроны работают только в импульсном режиме, так как в каждый момент времени ускоряется только один сгусток частиц. Они используются для ускорения тяжелых частиц. Имеются фазотроны, которые ускоряют протоны до энергий 1 ГэВ, альфа-частицы до 890 МэВ. Верхний предел энергии, достигаемый на фазотронах, определяется не физическими, а экономическими соображениями о стоимости самого ускорителя. Предельное значение энергии частиц, которое можно получить в фазотроне, определяется индукцией магнитного поля и диаметром полюсных наконечников электромагнита. Стоимость фазотрона ограничивает область изменения энергии, в которой используется фазотрон. Фазотронный метод используют для ускорения протонов, дейтронов и альфа-частиц до энергий в пределах от 25 до сотен МэВ.

Принцип автофазировки Векслера - Мак-Милллана справедлив не только для фазотронов, но и для других ускорителей частиц до высоких энергий. Открытие принципа играло огромную роль в дальнейшем развитии ускорительной техники, на его основе были спроектированы и построены сверхмощные ускорители различного типа.