Физика атома и ядра (курс лекций): Волновое уравнение Шрёдингера

Физика атома и ядра (курс лекций)

3 Волновое уравнение Шрёдингера

Стационарное уравнение Шрёдингера.

Имеется два вида уравнения Шрёдингера: временное и стационарное. Временное уравнение имеет вид

\( -\frac{{\hbar}^2}{2m}{\nabla}^2 \Psi+U \Psi=i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial{t}} \).

(1)

Решение уравнения Ψ=Ψ(x,y,z,t) носит название волновой функции. Частным случаем общего, или временного, уравнения является стационарное уравнение

\( -\frac{{\hbar}^2}{2m}{\nabla}^2 \Psi+U \Psi=E \psi \),

(2)

где ψ=ψ(x,y,z). Стационарное уравнение содержит параметр E=const, при фиксированном значении энергии в данный момент времени ищется функция ψ=ψ(x,y,z). Таким образом, уравнение (2) описывает стационарное состояние микрообъекта, которое и в последующие моменты времени остается неизменным. Его решение имеет вид

\( \Psi(x,y,z,t_0)=Ae^{i\vec{k}\vec{r}} \cdot{e}^{-i\frac{E}{\hbar}t_0} \) или \( \psi(x,y,z)=Ae^{i\vec{k}\vec{r}} \).

(3)

Волновая функция Ψ должна удовлетворять стандартным требованиям непрерывности, конечности и однозначности. Только при выполнении этих математических условий волновая функция будет иметь физически приемлемое решение уравнений (1) или (2). Она должна быть определена во всей области изменения координат. Волновая функция не имеет прямого физического смысла по той причине, что ее нельзя наблюдать или измерять в опыте. Ей дается трактовка с точки зрения вероятностной концепции, согласно которой все микроскопические процессы происходят по вероятностным законам. Квадрат модуля |ψ|²≡ψ^*ψ волновой функции пропорционально вероятности найти частицу в окрестностях точки (x,y,z). Если нормируем волновую функцию на единицу

\( \int{dP}= \int_{- \infty }^{ \infty}{c} \psi^*\psi{dV}=1 \),

(4)

то |ψ|²≡ψ^*ψ будет вероятностью нахождения частицы в окрестностях данной точки пространства. Соотношение (4) дает вероятность достоверного события, если частица существует, то его всегда можно найти в какой-либо точке пространства. Здесь dV=dxdydz. Вводится понятие плотности вероятности того, что частица находится в окрестностях данной точки или просто, как принято говорить, в этой точке

\( \omega=\frac{dP}{dV}=| \psi |^2 \).

(5)

Итак, что плотность вероятности есть вероятность, отнесенная к единице объема

Принцип суперпозиции.

Уравнение Шрёдингера есть дифференциальное уравнение. Для такого уравнения, если имеется два частных решения, например ψ₁ и ψ₂, то сумма этих функций ψ=ψ₁+ψ₂ также будет его решением. Это математическая формулировка известного из классической физики принципа суперпозиции. Однако, в силу вероятностной трактовки волновой функции, смысл принципа суперпозиции отличается от классического аналога. Принцип суперпозиции в квантовой механике формулируется следующим образом: Если частица может находиться в двух различных состояниях ψ₁ и ψ₂, то при наложении будет находиться в новом состоянии ψ. Пусть в состоянии ψ₁ некоторая величина Q имеет определенное значение q₁, а в состоянии ψ₂ - q₂. Тогда в новом состоянии ψ, полученного в результате наложения двух чистых состояний, значение величины Q будет неоднозначным. При измерении величины Q в состоянии ψ получится либо число q₁, либо число q₂ с некоторой определенной вероятностью. Если имеется n состояний ψ_i, и в каждом из них величина Q имеет значения q_i, то суперпозиция этих состояний запишется в виде суммы

(6)

Измеряя величину Q в сложном состоянии Ψ, мы получит одно из чисел q_i. Таково физическое содержание принципа суперпозиции в квантовой механике.

Физика атома и ядра. Слепцов И.А., Слепцов А.А.