Физика атома и ядра (курс лекций): Простейшие движения микрочастицы

Физика атома и ядра (курс лекций)

4 Простейшие движения микрочастицы

Потенциальная яма.

Пусть частица движется вдоль оси x, и его движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками, или бесконечно глубокой ямой. Так наглядно представляют график ступенчатой волновой функции, изображенный на рисунке (3).

рис. 3

График разделяет область изменения переменной на три отдельные области. По условию задачи в первой области и также в третьей частица никогда не попадает. Она движется во второй области, где потенциальная энергия взаимодействия поля с частицей не велика. Рассматривается лишь движение частицы по одной оси Ox, то есть задача является одномерной. С учетом всего этого уравнение Шрёдингера запишем в виде

\( \frac{d^2 \psi}{dx^2}+\frac{2m}{{\hbar}^2}E \psi(x)=0 \).

(1)

Ограничение движение частицы в яме задается граничными условиями

ψ(0)=ψ(l)=0.

(2)

Из математики известно, что действительное решение уравнения типа (1) имеет вид

ψ(x)=Asinωx+Bcosωx.

(3)

Здесь был введен параметр

\( { \omega }^2=\frac{2mE}{{\hbar}^2} \).

(4)

Исходя из граничного условия ψ(0)=0, коэффициент B приравняем нулю. Применяя второе условие ψ(l)=0, находим параметр ω². Он определяется соотношением

\( { \omega}^2= \pm\frac{{ \pi}n}{l} \), n=0,1,...

(5)

Тогда решение уравнения примет вид

\( \psi(x)={A} sin\frac{ \pi{n}}{l}x \), n=1,2,...

(6)

Применяя условие нормировки волновой функции

\( \int_{0}^{l}{{} \psi}^*(x) \psi(x)dx=1 \),

(7)

получим

\( A=\sqrt{\frac{2}{l}} \).

(8)

Таким образом, получили нормированную волновую функцию, описывающую свободное движение микрочастицы в бесконечно глубокой яме

\( \psi(x)=\sqrt{\frac{2}{l}}sin\frac{ \pi{n}}{l}x \), n=1,2,...

(9)

Из определения параметра ω² и найденного нами соотношения (5) находим

\( E_n=\frac{{ \pi}^2{\hbar}^2}{2ml^2}n^2 \), n=1,2,...

(10)

Формула (10) означает, что энергетические уровни частицы в бесконечно глубокой яме дискретны, что обусловлено граничными условиями (2).

Потенциальный барьер.

Рассмотрим график другой ступенчатой функции (рис.4).

рис. 4

Его называют потенциальным барьером, так как частице, движущейся по направлению оси Ox, встречается поле с повышенной потенциальной энергией. Это поле препятствует движению частицы. В общем случае область пространства, где потенциальная энергия повышена, имеет конечную ширину l. График разделяет пространство на три области. Рассматривается два случая, когда налетающая на барьер частица имеет энергию, большую, чем высота барьера (E>U₀), или наоборот, когда E<U₀. Рассмотрим последний случай. Во второй области уравнение Шрёдингера имеет вид

\( \frac{d^2 \psi_2}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-U_0) \psi_2=0 \), (II область).

(11)

В областях I и III U=0, движение электрона описывается уравнениями

\( \frac{d^2 \psi_1}{dx^2}+\frac{2mE}{\hbar^2}\psi_1=0 \), (I область),	(12)
\( \frac{d^2 \psi_2}{dx^2}+\frac{2mE}{\hbar^2}\psi_2=0 \), (III область).	(13)

Решения уравнений имеют вид

\( \psi_1=A_1e^{ik_1x}+B_1e^{-ik_1x} \),	(14)
\( \psi_2=A_2e^{ik_2x}+B_2e^{-ik_2x} \),
\( \psi_3=A_3e^{ik_3x} \).

Произвольные коэффициенты A₁,A₂,A₃ можно истолковать, как амплитуды волн, прошедших через границы барьера, а коэффициенты B₁,B₂ - амплитуду отраженных от границ волн. Коэффициент B₃ равен нулю, что означает отсутствие отраженных волн в третьей области. Прохождение потока частиц через потенциальный барьер характеризуется двумя коэффициентами: коэффициентом R отражения и коэффициентом D прохождения. В классической физике они определяются соотношениями

\( R=\frac{n'}{n} \), \( D=\frac{n''}{n} \).

(15)

Здесь n,n′,n″ - плотности падающих на барьер волн, отраженных от барьера и прошедших через барьер частиц. С квантовой точки зрения эти плотности пропорциональны квадратам модулей соответствующих волновых функций \( A_1e^{ik_1x} \), \( B_1e^{-ik_1x} \), \( A_3e^{ik_3x} \). Следовательно, коэффициенты можно определить следующим образом:

\( R=\frac{|B_1|^2}{|A_1|^2} \), \( D=\frac{|A_3|^2}{|A_1|^2} \).

(16)

С точки зрения математики коэффициенты R и D определяют вероятности отражения от барьера или прохождения через барьер одной частицы из потока n частиц. Поскольку то, что падающая на барьер частица отразится или пройдет, есть событие достоверное. Поэтому сумма этих вероятностей равна единице:

R+D=1.

(17)

Зная коэффициент прохождения, легко найти коэффициент отражения из формулы (17). Для прямоугольного барьера коэффициент прохождения вычисляется формулой

\( D \approx{exp}[-\frac{2l}{\hbar} \sqrt{2m(U_0-E)}] \),

(18)

где U₀,l,E, - высота и ширина барьера, энергия налетающей на барьер частицы. В случае потенциального барьера произвольной формы под знаком экспоненты должен стоять интеграл:

\( D \approx{exp}[-\frac{2l}{\hbar} \int_{0}^{l}{dx} \sqrt{2m(U_0-E)}] \).

(19)

Водородоподобный атом.

Нейтральный атом водорода и ионы, полученные в результате удаления всех электронов, кроме одного, принято называть водородоподобными атомами. В центре таких атомов находится их ядро, в потенциальном поле которого двигается одинокий электрон. Потенциал поля равен

\( U=-k\frac{Ze^2}{r} \).

(20)

Здесь Z - зарядовое число атомного ядра, r - расстояние электрона от центра ядра, e элементарный заряд, равный модулю заряда электрона. Коэффициент k принимает значения

(21)

В этом случае уравнение Шрёдингера имеет вид

\( \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi+ \left(E+k\frac{Ze^2}{r}\right) \psi=0 \).

(22)

Для решения уравнения (22) применяется метод разделения переменных. В результате исходное уравнение расщепляется на три уравнения, каждое из которых является уравнением для одной переменной. Чтобы использовать сферическую симметрию данной задачи, переходим с декартовых координат на сферические координаты r,θ,φ. В этих координатах оператор Лапласа имеет вид

\( \nabla^2(r, \theta,\varphi)=\frac{1}{r^2} \cdot\frac{\partial}{\partial{r}} \left(r^2\frac{\partial}{\partial{r}}\right)+\frac{1}{r^2sin\theta} \cdot\frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(sin \theta \frac{\partial}{\partial{\theta}} \right)+\frac{1}{r^2{sin}^2\theta} \cdot\frac{\partial^2}{\partial{\varphi}^2} \).

(23)

Решение уравнения ищется в виде

ψ(x,y,z)=R(r)Y(ϑ,φ)=R(r)Y(ϑ)Φ(φ).

(24)

Разделение переменных производится в двух этапах. В первый раз применяется множитель разделения

\( \frac{r^2}{R(r)Y( \theta, \varphi)} \)

(25)

В результате получим два в уравнения:

\( \frac{d}{dr}\left(r\frac{dR}{dr}\right)+\frac{2mr^2}{\hbar^2}\left(E+k\frac{Ze^2}{r}\right)R= \lambda{R} \),	(26)
\( \frac{1}{sin\theta} \cdot \frac{\partial}{\partial\theta}\left(sin\theta\frac{\partial{Y}}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{{sin}^2\theta}\cdot\frac{\partial^2Y}{\partial\varphi^2}=- \lambda{Y} \).	(27)

Здесь мы ввели так называемый параметр λ разделения переменных. Применяя новый множитель разделения

\( \frac{{sin}^2\theta}{\Theta(\theta) \Phi(\varphi )} \),

(28)

разделим второе уравнение (27) на два уравнения:

\( \frac{sin\theta}{\Theta}\cdot\frac{d}{d\theta}\left(sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+ \lambda {sin}^2\theta=m^2 \),	(29)
\( \frac{1}{ \Phi}\frac{d^2 \Phi}{d\varphi^2}=-m^2 \).	(30)

Таким образом, получили второй параметр m² разделения переменных. Решая поочередно уравнения (30), (29), (26), найдем решение уравнения Шрёдингера для водородоподобных атомов в виде волновой функции (24). Уравнение (30) в азимутальных переменных есть однородное дифференциальное уравнении второго порядка, оно решается обычным методом. Уравнения (29) и (26) являются уравнениями специального вида, их решения строятся особыми методами математической физики в виде так называемых специальных функций. В процессе поиска необходимых решений доказывается, что лишь при определенных дискретных значениях параметров разделения m,λ и энергии E_n частицы, уравнение Шрёдингера будет иметь физически допустимые решения, удовлетворяющие стандартным условиям непрерывности, конечности и однозначности. Такие решения получаются, если

m=0,±1,±2,... , λ=l(l+1), l=0,1,2,... , |m|≤l, n=1,2,... .

(31)

Тогда волновая функция ψ рассматривается как функция переменных x,y,z при фиксированных значениях переменных n,l,m:

ψ=ψ_n,l,m(x,y,z).

(32)

Параметры функции, которые обуславливают дискретность электронных состояний, принято называть квантовыми числами. Переменная n называется главным квантовым числом, переменные l,m орбитальным и магнитным квантовыми числами соответственно. Главное квантовое число определяет допустимые энергетические уровни водородоподобного атома

\( E_n=-k^2\frac{me^4}{2\hbar^2}\frac{Z^2}{n^2} \).

(33)

Только такие значения будет принимать энергия электрона в водородоподобных атомах. Из формул (32) и (33) следует, что одному и тому же значению энергии E_n при фиксированном значении параметра n соответствует совокупность волновых функций при разных значениях параметров l,m. Получается, в разных квантовых состояниях частица может иметь одинаковую энергию. Это противоречит классическому представлению об энергии. Поэтому этот случай называется вырождением энергии.

Физика атома и ядра. Слепцов И.А., Слепцов А.А.