Физика атома и ядра. Слепцов И.А., Слепцов А.А.

Принцип тождественности одинаковых частиц.

Многоэлектронный атом, кроме ядра, состоит из двух и более числа электронов, составляющих электронную оболочку атома. Он является важным частным случаем многочастичных квантовых систем, состоящих из абсолютно одинаковых частиц и обладающих особыми свойствами, вытекающими из принципа тождественности одинаковых частиц. Этот принцип квантовой механики гласит о том, что в системах одинаковых микрочастиц возможны координатные перемещения в пространстве, которые не ведут к экспериментально неразличимым состояниям. Для примера рассмотрим двухэлектронную систему. Электроны, которые входят в нашу систему, обладают абсолютно одинаковыми свойствами. Однако с точки зрения классической физики их можно отличить друг от друга, хотя бы отметив их каким-либо образом, например нумерацией. Присвоив номера электронам системы и следя их по траекториям движения, мы всегда можем указать, в каком месте находится электрон № 1 , а в каком - электрон № 2. В этом смысле нумерация частиц имеет вполне определенный смысл. С точки зрения квантовых представлений такая отметина электронов ничего не дает, так как мы в принципе не можем проследить движение частиц по траекториям. Следовательно, различение частиц теряет смысл, именно об этом идет речь в принципе тождественности одинаковых микрочастиц в квантовой механике.

В квантовой механике также применяется метод нумерации, но нумеруются не сами частицы, а координаты точек пространства, где с какой-то вероятностью может оказаться та или иная частица системы. Поскольку в нашей двухчастичной системе находятся только два электрона, то они в один и тот момент времени могут находиться в двух различных точках пространства, которым условно присвоем номера 1 и 2. Поскольку каждая из частиц с равной вероятностью могут находиться в любой из этих точек, мы должны рассмотреть систему в двух вариантах. В первом случае один электрон находится в точке № 1 с декартовыми координатами (x₁,y₁,z₁), в этот же момент другая частица должна находиться в точке № 2 с координатами (x₂,y₂,z₂). Во втором случае электроны поменяем местами. Попарную перестановку частиц системы можно записать математически, применяя оператор перестановки \( \hat{P} \), действие которого состоит в том, что он меняет местами частицы

Из принципа тождественности одинаковых частиц вытекает важное следствие. Исходя из соотношения (1), в квантовой механике доказывается, что состояние системы симметрично относительно положения входящих в нее частиц. Это означает, что при перестановке частиц системы попарно волновая функция либо не меняется, либо меняет знак:

Это свойство называется свойством симметрии волновой функции. Волновая функция, которая не меняется при перестановке частиц попарно, называется симметричной относительно перестановок этих частиц, а если волновая функция при перестановке частиц меняет только свой знак, то она называется антисимметричной относительно перестановок частиц.

Обменное вырождение.

Классическим примером двухчастичной системы является атом He гелия, в поле ядра которого движутся два электрона. В первом приближении, где пренебрегается энергия взаимодействия частиц системы, уравнение Шредингера имеет вид

Здесь - E полная энергия системы, U₁=U(x₁,y₁,z₁), U₁=U(x₂,y₂,z₂) - потенциальные энергии взаимодействия первого и второго электрона с ядром соответственно, ψ - волновая функция, описывающая состояние системы.

По интерпретации Борна волновая функция определяет вероятность состояния. Электроны, по нашему допущению, движутся независимо друг от друга в поле ядра. Поэтому состояние каждого из них не зависит от состояния другого, иными словами являются независимыми событиями. Состояние каждого из электронов описывается волновой функцией водородоподобного типа ψ(x,y,z). Из теории вероятности известно, что вероятность наступления двух независимых событий равно произведению вероятности осуществления этих событий. Исходя из этих соображений, полную волновую функцию системы мы можем представить в виде произведения волновых функций свободных электронов

Так как, по предположению, взаимодействие электронов отсутствует, полная энергия системы слагается из энергий этих частиц

Переменные a,b - совокупность квантовых чисел, определяющих состояние электрона. Поскольку электроны тождественно неразличимы, мы можем предположить, что решением уравнения (3) будет еще одна функция

Функция (6) получается в результате замены электронов местами. Функции (4) и (5) различны, но принадлежат одному и тому же собственному значению E энергии системы. Таким образом, данное значение энергии вырождено в результате перестановки невзаимодействующих электронов системы местами. Такое вырождение энергии называется обменным, оно является следствием неразличимости одинаковых частиц.

Заметим, что в случае взаимодействующих электронов системы волновая функция ψ не может быть представлена в виде функций (4) и (6), и вырождение собственной энергии системы будет отсутствовать.

Волновые функции (4) и (5) не обладают свойствами симметрии, как это требует принцип тождественности одинаковых частиц, поэтому они не подходят для описания движения электронов. Однако с их помощью можно построить функции, которые имеют свойства симметрии. Как известно, из двух известных решений (4) и (6) линейного дифференциального уравнения (3) всегда можно построить его третье решение в виде их линейной комбинации:

Теперь требуется подходящий подбор значений постоянных коэффициентов α,β чтобы функция (7) была симметричной или антисимметричной относительно перестановок электронов. Решение этой задачи не представляет особой трудности.