5. Молекулы и кристаллы

Задача №1.

Найти угловую скорость вращения молекулы водорода на первом возбужденном вращательном уровне, если расстояние между центрами атомов равно 0,74Å.

 

Дано:

d=0,74Å

Решение:

Найти:

ωr=?

 

Величина момента импульса вращающейся квантовой системы (например, молекулы) квантуется по формуле

 

\( M_J=\hbar\sqrt{J(J+1)} \),

(1)

где J=0,1,2.... Квантовое число J называется вращательным. Момент импульса вращения тела, которое вращается вокруг неподвижной оси, определяется следующим образом:

 

M=ωrI,

(2)

где ωr - угловая скорость вращения,  - момент инерции тела относительно этой оси. Сопоставляя формулы (1) и (2), найдем

 

\( \omega_r=\frac{M}{I}=\frac{\hbar\sqrt{J(J+1)}}{I} \).

(3)

Если молекула состоит из двух одинаковых атомов, то момент инерции относительно оси, проходящей через ее центр инерции, равен

 

\( I=\frac{1}{2}md^2 \),

(4)

где d - расстояние между центрами атомов, m - масса одного атома. В случае атома водорода она равна 1,67·10-27кг. В первом возбужденном состоянии J=1. Поэтому с учетом (4) получим

 

\( \omega_r=\frac{2\sqrt{2}\hbar}{md^2} \).

(5)

Расчет:

 

\( \omega_r=\frac{2\sqrt{2}\cdot1,0546\cdot10^{-34}}{1,67\cdot10^{-27}\cdot{(0,74\cdot10^{-10})}^2}=3,259\cdot10^{13}\approx3,3\cdot10^{13} \)c-1.