5. Молекулы и кристаллы
Задача №4.
Оценить энергию нулевых колебаний одного моля алюминия, если межатомное расстояние a=0,3нм и скорость распространения акустических колебаний v=4км/с.
|
Дано: a=0,3 нм v=4 км/с |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: U0=? |
По модели Дебая выражение энергия нулевых колебаний для одного моля кристалла имеет вид
\( U_0=\frac{9}{8}N_A\hbar^2\omega_{max} \). |
(1) |
Здесь ωmax - максимальная частота нормальных колебаний решетки, при которых кристалл еще можно рассматривать как сплошную среду. Она равна
\( \omega_{max}=\nu^3\sqrt{6\pi^2n} \). |
(2) |
где n - концентрация атомов в кристалле, v - величина, принимаемая как «средняя» фазовая скорость звуковых волн в кристалле.
Допустим, что элементарной ячейке кристалле с объемом a3 приходится приблизительно один атом. Тогда концентрация атомов в кристалле определяется формулой
\( n\approx\frac{1}{a^3} \). |
(3) |
За «среднюю» скорость звуковых волн берем заданную скорость распространения волн. Тогда расчетная формула для оценки энергии нулевых колебаний имеет вид
\( U_0\approx\frac{9}{8a}N_A\hbar\nu\cdot\sqrt[3]{6\pi^2} \). |
(4) |
Расчет:
\( U_0\approx\frac{9}{8\cdot0,3\cdot10^{-9}}\cdot6,022\cdot10^{23}\cdot1,0546\cdot10^{-34}\cdot4\cdot10^3\cdot\sqrt[3]{6\cdot{3,1415}^2}=3,7\cdot10^3 \)Дж. |
