5. Молекулы и кристаллы

Задача №7.

Скорость поперечных волн в алюминии v=3130м/с и продольных v||=6400м/с. Определить температуру ΘД Дебая для алюминия.

 

Дано:

v=3130м/с

v||=6400м/с

Решение:

Найти:

ΘД=?

 

Выражение для температуры Дебая через «среднюю» скорость распространения волн в кристалле имеет вид

 

\( \Theta_Д=\frac{\hbar\nu}{k_Б}\sqrt[3]{6{\pi}^2n} \).

(1)

Выражение для «средней» скорости v определяется из уравнения

 

\( \frac{3}{\nu^3}=\frac{1}{\nu^3_{\parallel}}+\frac{2}{\nu^3_\perp} \).

(2)

Если найдем выражение для скорости v из (2) и поставим его в (1), то получим

 

\( \Theta_Д=\frac{\hbar\nu_{\parallel}\nu_{\perp}}{k_Б}\sqrt[3]{\frac{18{\pi}^2n}{\nu_{\perp}^3+2\nu^3_{\parallel}}} \).

(3)

Концентрация атомов в кристалле равна

 

\( n=\frac{ \rho{N_A}}{M} \).

(4)

Табличные данные: ρ=2,7·10-3кг/м3, M=26,98154·10-3моль-1.

Расчет:

 

              \( \frac{\hbar\nu_{\parallel}\nu_{\perp}}{k_Б}=\frac{1,0546\cdot10^{-34}\cdot6400\cdot3130}{1,3807\cdot10^{-23}}=1,53\cdot10^{-4} \)м2K/c,

\( n=\frac{2,7\cdot10^3\cdot6,022\cdot10^{23}}{26,98154\cdot10^{-3}}=6,026\cdot10^{25} \)м-3,

     \( \Theta_Д=1,53\cdot10^{-4}\sqrt[3]{\frac{177,652\cdot6,026\cdot10^{28}}{5,549\cdot10^{11}}}\approx410 \)K.