1. Атом Резерфорда – Бора
Задача №2.
Частица массы движется в центрально-симметричном силовом поле \( \vec{F} \)=-kr(k>0). Применяя теорию Бора выразить через циклическую частоту ω, с которой колебалась бы частица под действием \( \vec{F} \):
а) возможные радиусы rn круговых орбит частицы
б) возможные значения En полной энергии частицы.
|
Дано: \( \vec{F}=-k\vec{r} \) mvr=nћ |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: rn=? En=? |
a)
mvrn=nћ. |
(1) |
v=ωrn. |
(2) |
Поставим (2) в (1)
\( m \omega{r^2_n }=n\hbar \). |
(3) |
Отсюда следует
\( r_n=\sqrt{\frac{n\hbar}{m\omega}} \). |
(4) |
б) Полная энергия частицы равна
E=T+U. |
(5) |
Выразим кинетическую энергию T через частоту ω:
\( T=\frac{mv^2}{2}=\frac{m}{2}\cdot{\omega}^2\cdot\frac{n\hbar}{m\omega}=\frac{n\hbar\omega}{2} \). |
(6) |
Для нахождения потенциальной энергии U воспользуемся определением
\( F=-\frac{dU}{dr} \). |
(7) |
По условию задачи имеем
F=-kr. |
(8) |
Применяя равенства (7) и (8), запишем уравнение
dU=krdr. |
(9) |
Здесь учтено, что \( \vec{F} \uparrow \uparrow\vec{r} \). Частота ω квазиупругих колебаний определяется формулой
\( \omega=\sqrt\frac{k}{m} \). |
(10) |
Если учесть (10), то дифференциал dU потенциальной энергии примет вид
dU=mω2rdr. |
(11) |
Интегрируем обе части равенства (11):
\( U=m{\omega}^2 \int{rdr}=\frac{m{\omega}^2r^2}{2} \). |
(12) |
И, наконец, учтя (4), найдем
\( U=\frac{n\hbar\omega}{2} \). |
(13) |
Из формул (6) и (13) следует, что полная энергия частицы равна
En=nћω. |
(14) |
