3. Уравнение Шредингера. Волновая функция
Задача №3.
Волновая функция частица массы U(x)=kx2/2 для основного состояния в одномерном потенциальном поле имеет вид ψ(x)=Aexp(-αx2), где A и - некоторые постоянные. Найти с помощью уравнения Шрёдингера постоянную α и энергию E частицы в этом состоянии.
|
Дано: \( U(x)=\frac{kx^2}{2} \) ψ(x)=Ae-αx2 |
Решение: |
|---|---|
|
Найти: α=? En=? |
В данном случае одномерное стационарное уравнение Шрёдингера имеет вид
\( \frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+\frac{2m}{{\hbar}^2}\left(E-\frac{kx^2}{2}\right)\psi(x)=0 \). |
(1) |
Частота квазиупругих колебаний определяется соотношением
\( \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \), |
(2) |
где k - коэффициент квазиупругости. Отсюда следует
\( \frac{d\psi(x)}{dx^2}+\frac{2m}{{\hbar}^2}E\psi(x)=0 \). |
(3) |
где
\( \lambda=\frac{2mE}{{\hbar}^2} \), \( { \xi}^2=\frac{m^2{\omega}^2}{{\hbar}^2} \). |
(4) |
От заданной функции
ψ(x)=Ae-αx2 |
(5) |
берем первую и вторую производные. Они равны
\( \frac{d\psi}{dx}=-2\alpha{A}e^{-{\alpha}x^2} \), |
(6) |
\( \frac{d^2\psi}{dx^2}=-2\alpha{A}e^{-{\alpha}x^2}+4{\alpha}^2x^2\alpha{A}e^{-{\alpha}x^2} \). |
(7) |
Поставив (5) и (7) в уравнение (3) получим тождество
(4α2-ξ2)x2+(λ-2α)=0. |
(8) |
Чтобы определить параметры α и ξ из тождества (8), воспользуемся способом неопределенных коэффициентов. Суть метода состоит в том, что многочлены при различных степенях x приравняют нулю и получают систему алгебраических уравнений
4α2-ξ2=0, |
(9) |
λ-2α=0. |
(10) |
Из системы получаем равенство
α2=ξ2. |
(11) |
Поставляя значения параметров из формул (4) в равенство (11), находим
\( E=\sqrt{\frac{{\omega}^2{\hbar}^2}{4}}=\frac{{\omega}{\hbar}}{2} \), (E>0). |
(12) |
Из уравнения (10) находим
\( \alpha=\frac{\lambda}{2}=\frac{m\omega}{2\hbar} \). |
(13) |
