3. Уравнение Шредингера. Волновая функция
Задача №4.
Электроны, обладающие энергией E=16,0 эВ, на своем пути встречают прямоугольный потенциальный барьер высотой U0=4,0 эВ. Найти коэффициент отражения R и коэффициент D пропускания волн де Бройля для данного барьера.
|
Дано: E=16,0 эВ U0=4,0 эВ |
Решение:  |
|---|---|
|
Найти: R=? D=? |
В задаче рассматривается случай перехода частицы в безгранично протяженную область с потенциальной энергией U0. Притом имеет место условие E>U0. Напишем уравнение Шрёдингера отдельно для каждой из смежных областей, на которые разделено пространство барьером. Свободное движение частицы до барьера описывается равнением
\( \frac{d^2{\psi}_1}{dx^2}+\frac{2mE}{{\hbar}^2}{\psi}_1=0 \). |
(1) |
Уравнение движения частицы внутри барьера высотой U0 имеет вид
\( \frac{d^2{\psi}_2}{dx^2}+\frac{2m(E-U_0)}{{\hbar}^2}{\psi}_2=0 \). |
(2) |
Вводя новые параметры
\( k_1=\frac{2mE}{{\hbar}^2} \) и \( k_2=\frac{2m(E-U_0)}{{\hbar}^2} \), |
(3) |
перепишем уравнения (1) и (2) следующим образом:
\( \frac{d^2{\psi}_1}{dx^2}+k^2_1{\psi}_1=0 \), |
(4) |
\( \frac{d^2{\psi}_2}{dx^2}+k^2_2{\psi}_2=0 \). |
(5) |
Решения уравнения (4) и (5) ищутся общепринятым в математике методом. Решения уравнений пишут в комплексной форме. Оно для уравнения (4) имеет следующий вид:
ψ1=A1eik1x+B1e-ik1x. |
(6) |
Отсюда следует, что волновая функция ψ1(x) представляет собой наложение двух противоположно направленных волн. После столкновения со стенкой барьера частица либо не изменит прежнего направления движения (x>0), либо изменит его в другую сторону (x<0). Решение уравнения (5) имеет вид
ψ2=A2eik1x. |
(7) |
Функция ψ2 не содержит второго члена, поскольку в барьере бесконечной ширины частица не сталкивается ни с чем, и продолжает свое движение по первоначальному движению. Классическое определение коэффициента R отражения определяется отношением плотностей n′ и n потоков частиц, отраженных от барьера и упавших на него, которые в свою очередь пропорциональны соответствующим вероятностям:
\( R=\frac{n'}{n}=\frac{|B_1|^2}{|A_1|^2} \). |
(8) |
Отсюда ясно, что коэффициент R следует трактовать как вероятность отражения частицы от стенки барьера. Далее воспользуемся условиями «сшивания» для функций ψ1 и ψ2
ψ1(0)=ψ2(0), |
(9) |
\( \frac{{\psi}_1}{dx}|_{x=0}=\frac{{\psi}_2}{dx}|_{x=0} \) |
(10) |
Эти условия непрерывности функции и также и ее первой производной дают возможность довести решение задачи до конца. Подстановка решений (6) и (7) в условиях «сшивания» функций дает систему из двух уравнений с тремя неизвестными
A1+B1=A2, |
(11) |
k1A1-k1B1=k2A2. |
(12) |
Чтобы найти соотношение коэффициентов B1/A1 исключим из системы A2. Для этого делим (12) на коэффициент k2, вычтем его из (11), и получим следующее равенство:
\( \left(1+\frac{k_1}{k_2}\right)B_1=\left(\frac{k_1}{k_2}-1\right)A_1 \). |
(13) |
Отсюда имеем
\( R={\left|\frac{B_1}{A_1}\right|}^2=\frac{{(k_1-k_2)}^2}{{(k_1+k_2)}^2} \). |
(14) |
Заметим, что частица, ударившись об стенку барьера, либо отразится, либо пройдет дальше в барьер. Следовательно, коэффициент пропускания D, то есть вероятность того, что частица попадет в барьер бесконечной ширины, можно определить из суммы вероятностей двух взаимно исключающих друг друга событий
\( D+1-R=\frac{4k_1k_2}{{(k_1+k_2)}^2} \). |
(15) |
Поставив в (15) значения коэффициентов k1 и k2, найдем выражение для расчета D. Оно имеет вид
\( D=\frac{4\sqrt{E(E-U_0)}}{{(\sqrt{E}-\sqrt{E-U_o})}^2} \). |
(16) |
Расчет:
\( D=\frac{4\sqrt{16\cdot12}}{{(4+\sqrt{12})}^2}=\frac{55,4256}{55,7128}=0,9948\approx99,5 \)%, R=1-0,9948=0,0051≈0,5%. |
