5. Молекулы и кристаллы

Задача №2.

Найти для молекулы HCl вращательные квантовые числа двух соседних уровней, разность которых 7,86 МэВ

 

Дано:

δEJ,J+1=7,86МэВ

Решение:

Найти:

J=?

J+1=?

 

Вращательная энергия молекулы имеет значения

 

\( E_J=\frac{M^2}{2I}=\frac{\hbar^2}{2I}J(J+1) \) (J=0,1,...).

(1)

Расстояние между двумя соседними уровня равно

 

\( \delta{E}_{J,J+1}=E_{J+1}-E_J=\frac{\hbar^2}{I}(J+1) \).

(2)

Из формулы следует, что

 

\( J+1=\frac{I}{\hbar^2}\delta{E}_{J,J+1} \)

(3)

Момент инерции двухатомной молекулы из разных атомов определяется формулой

 

\( I=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}d^2 \),

(4)

где m1, m2 - массы атомов, d - расстояние между центрами атомов. Чтобы вычислить момент инерции I системы, необходимы следующие табличные данные:

 

m1=mH=1,007825а.е.м., m1=mCl=34,968854а.е.м., 1а.е.м.=1,660·10-27а.е.м., d=1,275·10-10м.

Расчет:

 

\( \mu=\frac{1,007825\cdot34,968854\cdot{(1,660\cdot10^{-27})}^2}{(1,008725+34,968854)\cdot1,660\cdot10^{-27}}=1,626 \)кг,

                     I=μd2=1,626·10-27·(1,275·10-10)2=2,643·10-47кг·м2,

\( J+1=\frac{7,86\cdot10^{-4}\cdot1,6\cdot10^{-19}\cdot2,643\cdot10^{-47}}{{(1,0546\cdot10^{-34})}^2}=2,989\approx3 \).

Следовательно, J=2.